Разстояние между прави

[Гост]

Здравейте, бихте ли ударили едно рамо с тази задача:
Да се намери разстоянието между правите а: х+у+3=0 у b: х+у+5=0

[KOPMOPAH]

Разстояние между прави-3.png (9.51 KiB) Прегледано 1583 пъти

Записваме правите от вида $Ax+By+C$ във вида $y=kx+b$. Получаваме

$x+y+3=0\longrightarrow y=-x-3,~~x+y+5=0\longrightarrow y=-x-5$

Правите са успоредни, защото се различават само по свободния член. Следователно може да се говори за разстояние. Права, която е перпендикулярна и има уравнение $y=k_1x+b_1$ трябва да изпълнява условието $k_1\cdot(-1)=-1$, откъдето $k_1=1$. Всяка права с уравнение $y=x+const$ e перпендикулярна. Избираме $y=x$ за по-лесно. Съставяме системите $$\begin{array}{|l} y = -x-3 \\ y = x \end{array}~~~~~~~~~~\begin{array}{|l} y = -x-5 \\ y = x \end{array}$$
Решението на първата са координатите на т.$A$, а на втората - на т.$B$. Остава да се намери дължина на отсечка със зададени координати на краищата.

[ptj]

Иска само един поглед - търсеното разстояние е [tex]\sqrt{2}[/tex].

Двете прави са успоредни и са под [tex]45^\circ[/tex] спрямо абцисата (съответните съотнощения между коефициентите пред [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са едници). Най-лесно се вижда, че
съответното отместване по x e 2 като дадем на [tex]y[/tex] стойности 0. Тогава разстоянието между тях е точно катет в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотениуза 2.

[ptj]

Има много начини зарешаване на подобна задача с теорията на Аналитичната Геометрия. Всичко което се иска е някой да си прочете лекциите...

[Гост]

Иска само един поглед - търсеното разстояние е [tex]\sqrt{2}[/tex].

Двете прави са успоредни и са под [tex]45^\circ[/tex] спрямо абцисата (съответните съотнощения между коефициентите пред [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са едници). Най-лесно се вижда, че
съответното отместване по x e 2 като дадем на [tex]y[/tex] стойности 0. Тогава разстоянието между тях е точно катет в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотениуза 2.

Лесно се вижда, ако се направи чертеж. Човекът е обяснил защо са успоредни и не се е правил на многознайко. В конкретния случай ъгълът е 45 градуса, но трябва да се решава в общия случай, както е посочил Корморан.

[ptj]

В общия случай тангенса на ъгъла е задава от съотношението на кофициентите.

Не трябва да пишеш дълги обяснения защо две прави са успоредни, достатъчно е да имат общ нормален вектор. Проблема е, че някой трябва да прочете какво е нормален вектор.

[peyo]

Здравейте, бихте ли ударили едно рамо с тази задача:
Да се намери разстоянието между правите а: х+у+3=0 у b: х+у+5=0

За да намерим разтояние до права, уравнениято на правата е добре да е в каноничен вид:

$х+у+3=0$ -> $\frac{х}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=0$

Следващото което ни трябва е точка от която да измерим разтоянието. Всяка точка от другата права ни върши работа, например x=0, 0+у+5=0, y=-5.
Слагаме точката (0,-5) в каноничната форма и готово:

$\frac{0}{\sqrt{2}}+\frac{-5}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}= \frac{-5}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Да, разстоянията могат да бъдат отрицателни.