правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник с радиуси R и r съответно на описаната и вписаната окръжност. Да се намери най-малката стойност на отношението R/r.

[KOPMOPAH]

При фиксиран радиус на описаната окръжност не е трудно да се сети човек, че минимално значение на отношението $\frac Rr$ се получава при максимален радиус на вписаната окръжност.

Известно е (или лесно доказуемо при необходимост), че за правоъгълния триъгълник е в сила равенството $r=a+b-c$

Отчитайки факта, че $c=2R$ горното равенство придобива вида $r=a+\sqrt{R^2-a^2}-2R$. Следователно се търси максимума на функцията $f(a)=a+\sqrt{R^2-a^2}-2R$

$~~~~~~f'(a)=1-\frac1{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}a}{\sqrt{R^2-a^2}}=1-\frac{a}{\sqrt{R^2-a^2}}$

Приравнявайки първата производна на $0$, получаваме:

$~~~~~~1-\frac{a}{\sqrt{R^2-a^2}}=0\Rightarrow a=\frac{R\sqrt 2}2,\,\Rightarrow b=\sqrt {R^2-a^2}=\cdots=\frac{R\sqrt 2}2$

Излиза, че при фиксирана хипотенуза радиусът на вписаната окръжност е максимален при равнобедрен правоъгълен триъгълник, следователно минимално значение на отношението $\frac Rr$ има при такъв триъгълник.

[Евва]

Намерих [tex]\frac{ R^{2 } }{ r^{2 } } = \frac{sin \alpha +cos \alpha +1}{2sin \alpha.cos \alpha(sin \alpha +cos \alpha -1)}[/tex]

Не се сещам как да продължа .

При [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] (означаващо ,че и [tex]\beta[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] )получавам
[tex]\frac{ R^{2 } }{ r^{2 } }= 3+2 \sqrt{2}[/tex] т.е. [tex]\frac{R}{r} = \sqrt{2} +1[/tex]

[pal702004]

Страните са $2R,2R\sin x,2R \cos x$. Съответно $r=R(\sin x+\cos x-1)$. (За правоъгълен тр-к $r=\dfrac{a+b-c}{2}$)

$\dfrac R r=\dfrac{1}{sin x+cos x-1}$

Минимума се достига при максимум на знаменателя. По 1000 начина се доказва, че $\max(sin x+cos x)=\sqrt 2$ При $x=\dfrac{\pi}{4}$

$\min \dfrac{R}{r}=\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=\sqrt 2+1$