Задачи от геометрия

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тези две задачи от геометрия?

1) Лицето на триъгълника, заключен между координатните оси и правата с уравнение 3х+4у=12, е равно на:
2) Дадени са правите 2х-у+1=0 и 3х-2у=5. Разстоянието между точките, в които правата х-у-3=0 пресича дадените прави, е равно на:

[peyo]

Здравейте, може ли да помогнете с тези две задачи от геометрия?

1) Лицето на триъгълника, заключен между координатните оси и правата с уравнение 3х+4у=12, е равно на:
2) Дадени са правите 2х-у+1=0 и 3х-2у=5. Разстоянието между точките, в които правата х-у-3=0 пресича дадените прави, е равно на:

1)
In [729]: u = 3*x+4*y-12

In [732]: solve([u,x-0])
Out[732]: {x: 0, y: 3}

In [733]: solve([u,y-0])
Out[733]: {x: 4, y: 0}

In [734]: 4*3/2
Out[734]: 6.0

2)

In [735]: p1 = 2*x-y+1

In [736]: p2 = 3*x-2*y-5

In [737]: p3 = x-y-3

In [738]: solve([p1,p3])
Out[738]: {x: -4, y: -7}

In [739]: solve([p2,p3])
Out[739]: {x: -1, y: -4}

In [743]: print(latex(sqrt((-4+1)**2 + (-7+4)**2)))
$3 \sqrt{2}$

[ammornil]

1) Лицето на триъгълника, заключен между координатните оси и правата с уравнение 3х+4у=12, е равно на:

Нека правата пресича оста [tex]Ox[/tex] в точка [tex]A(0;y_{A})[/tex], а оста [tex]Oy[/tex] в точка [tex]A(x_{B};0)[/tex].
Търсеното лице е [tex]S=\frac{1}{2}\cdot{y_{A}}\cdot{x_{B}}[/tex] (отрязъците от координатните оси са катети на триъгълника)
[tex]A(0;y_{A}) \in 3x+4y=12 \Rightarrow 3x_{A}+4y_{A}=12 \Rightarrow y_{A}=3 \\ B(0;y_{B}) \in 3x+4y=12 \Rightarrow 3x_{B}+4y_{B}=12 \Rightarrow x_{B}=4 \\ S=\frac{1}{2}\cdot{3}\cdot{4}=6[/tex]

2) Дадени са правите 2х-у+1=0 и 3х-2у=5. Разстоянието между точките, в които правата х-у-3=0 пресича дадените прави, е равно на:

[tex]2x-y=0 \cap x-y-3=0 \equiv M(x_{M};y_{M}) \Rightarrow \begin{array}{|l} y_{M}=2x_{M}+1 \\ y_{M}=x_{M}-3 \end{array} \Rightarrow 2x_{M}+1=x_{M}-3 \Rightarrow x_{M}=-4 \Rightarrow y_{M}=x_{M}-3 \Leftrightarrow y_{M}=-7 \\ M(-4;-7) \\ 3x-2y-5=0 \cap x-y-3=0 \equiv N(x_{N};y_{N}) \Rightarrow \begin{array}{|l} y_{N}=\frac{3x_{N}-5}{2} \\ y_{N}=x_{N}-3 \end{array} \Rightarrow \frac{3x_{N}-5}{2}=x_{N}-3 \Rightarrow x_{N}=-1 \Rightarrow y_{N}=x_{N}-3 \Leftrightarrow y_{M}=-4 \\ N(-1;-4) \\ MN=\sqrt{(x_{M}-x_{N})^{2}+(y_{M}-y_{N})^{2}}=\sqrt{(-4-(-1))^{2}+(-7-(-4))^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=3\sqrt{2}[/tex]