Задача от успоредник

[ceneto92]

Даден е успоредник ABCD със страна AD=4 см, диагонал BD=4?3 и ъгъл ADC=120°. Лицето на успоредника е ?

[prodanov]

Знаем [tex]\angle ADC = 120^\circ[/tex] => знаем [tex]\angle DAB = 60^\circ[/tex] ;

sin Th. в[tex]\Delta ABD[/tex]:[tex]\frac{BD}{sin60^\circ }=\frac{AD}{sinB}[/tex]
<=> [tex]sinB={ADsin60^\circ }{BD} = \frac{2\sqrt3}{4\sqrt3} = \frac{1}{2}[/tex]

1) [tex]\frac{1}{2}[/tex] е "точен" синус, тъй като [tex]\angle ABD \ne 150^\circ[/tex](от свойствата на триъгълник) => [tex]\angle ABD = 30^\circ[/tex] ;
При [tex]\angle DAB = 60^\circ[/tex] и [tex]ABD = 30^\circ[/tex] , [tex]\angle ADB = 90^\circ[/tex] =>[tex]\Delta ABD,BDC[/tex] - правоъгълен.

S на правоъгълен триъгълник е произведението на двата катета върху 2, но триъгълниците са два, и са еднакви, следователно просто тяхното произведение. => [tex]S_{ABCD}=AD*BD = 16\sqrt3[/tex]

2) Построяваме [tex]DH(H \in AB)[/tex] - височина([tex]\angle DHB = 90^\circ[/tex]);
тогава [tex]sinB = \frac{DH}{BD}[/tex] <=> [tex]DH=2\sqrt3[/tex]

[tex]cosB = \sqrt{1-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt3}{2}[/tex] ,тъй като [tex]\angle ABD < 150^\circ[/tex] ;
[tex]cosB = \frac{BH}{BD}[/tex] <=> [tex]BH=6[/tex]

[tex]cos\alpha=cos60^\circ =\frac{AH}{AD} <=> AH=2[/tex]

=> [tex]AB = AH+HB = 8[/tex]

[tex]S_{ABCD}=DH.AB =16\sqrt3[/tex]

[L.e.o]

Нека си спуснем височината от D към АВ, която да я пресича в т.N.
Тъй като <DAB = 180-120=60, веднага можем да кажем, че AN=2 и DN=2?3.
От Пит. Т. за ?DNB: (4?3)^2 = (2?3)^2 + NB^2 => NB =6
AB = AN+NB = 8
Sabcd = AB.DN = 8.2?3 = 16?3

[prodanov]

Изби рибата.

От толко тригонометрия забравих за 30 градусовите ъгли.