Правилни многоъгълници

[Гост]

Добър вечер. Имам нужда от помощ за тези задачи, бихте ли ударили едно рамо?

Задача 1: Лицето на правилен шестоъгълник е 32[tex]\sqrt{3}[/tex]. Във вписаната в него окръжност е вписан квадрат. Намерете лицето на квадрата.
Задача 2: Лицето на правилен дванадесетоъгълник е 12. Около описаната около него окръжност е описан квадрат. Намерете страната на квадрата.

[Евва]

1 зад. Може би не сте учили формулите ,които аз ползвах .
Защо пък да не се ползват ,след като ги има в УикипедиЯ .

Да впишем правилен осмоъгълник в окръжността .
Означаваме осмоъг. AMBNCEDF , то квадрата ще е ABCD .
Нека R е радиуса на окр. ,а е страната на прав.осмоъгълник .
______________________________________________________________________________
(1) [tex]S_{6 }[/tex]= 2[tex]\sqrt{3} R^{2 }[/tex] ( R-радиус на вписаната окръжност в прав. шестоъгълник)
(2) [tex]S_{8 } =4 R^{2 }sin45 ^\circ[/tex] т.е. [tex]S_{8 } =2 \sqrt{2} R^{2 }[/tex] (R-радиус на описаната окр. около прав. осмоъгълник)
(3) [tex]S_{8 }=2 a^{2 }(1+ \sqrt{2})[/tex]
______________________________________________________________________________
[tex]S_{6}[/tex]=32[tex]\sqrt{3}[/tex] ;2[tex]\sqrt{3} R^{2 } =32 \sqrt{3}[/tex] ; R=4 (4)

[tex]S_{8 } =2 \sqrt{2} R^{2 }[/tex] ;[tex]S_{8 } =2\sqrt{2}[/tex].16 ;[tex]S_{8 } =32 \sqrt{2}[/tex] (5)
Да намерим [tex]а^{2 }[/tex] ,ползвайки (3) .
32[tex]\sqrt{2} =2 a^{2 }(1+ \sqrt{2})[/tex] ;[tex]a^{2 } = \frac{16 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} +1}[/tex] т.е. [tex]a^{2 } =16(2- \sqrt{2} )[/tex] (6)

[tex]S_{кв. } +4 S_{DCE } =S_{8 }[/tex]

[tex]S_{кв. }[/tex]+4.[tex]\frac{a.a.sin135 ^\circ }{2}[/tex] =32[tex]\sqrt{2}[/tex] ( виж (6) )

[tex]S_{кв. } +2.16(2- \sqrt{2}). \frac{ \sqrt{2} }{2} =32 \sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{кв. } +32 \sqrt{2} -32=32 \sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{кв. }[/tex]=32

[Евва]

2 зад. ABCDE... - правилен вписан дванадесетоъгълник , MNPT- описан квадрат , R- радиус на окръжност с център т.О .
[tex]S_{12 }[/tex]=12[tex]S_{ABO }[/tex]=[tex]12 \frac{AO.BO.sin \frac{360 ^\circ }{12} }{2}[/tex]=[tex]\frac{12 R^{2 }sin30 ^\circ }{2}[/tex]=[tex]6 R^{2 } \frac{1}{2}[/tex]=3[tex]R^{2 }[/tex]

[tex]S_{12 } =3 R^{2 }[/tex]
12=3[tex]R^{2 }[/tex] ; R=2

MN=2R=2.2 =4