Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, в който с M е означен медицентърът му, а с P е означена средата на страната AB. Да се намери отношението на лицата на триъгълниците BMP и ABC.

[ammornil]

Даден е триъгълник ABC, в който с M е означен медицентърът му, а с P е означена средата на страната AB. Да се намери отношението на лицата на триъгълниците BMP и ABC.

[tex]\\[/tex]Медианата разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника [tex]\\ \Rightarrow S_{_{APC}}=S_{_{BPC}}=\frac{1}{2}S_{_{ABC}} \\ BB_{1} \bot CP \Rightarrow S_{_{BMC}}=\frac{1}{2}\cdot{CM}\cdot{BB_{1}}, \quad S_{_{BMP}}=\frac{1}{2}\cdot{PM}\cdot{BB_{1}} \\ \frac{CM}{MP}=\frac{2}{1} \Leftrightarrow \frac{S_{_{BMC}}}{S_{_{BMP}}}=\frac{2}{1} \Leftrightarrow S_{_{BMC}}=2S_{_{BMP}} \\ S_{_{BMC}}+S_{_{BMP}}=S_{BPC} \Leftrightarrow 2S_{_{BMP}}+S_{_{BMP}}=\frac{1}{2}S_{_{ABC}} \Leftrightarrow 3S_{_{BMP}}=\frac{1}{2}S_{_{ABC}}[/tex]$$ \frac{S_{_{BMP}}}{S_{_{ABC}}}=\frac{1}{6} $$