Многоъгълници

[Гост]

1 зад. Правилен многоъгълник с централен ъгъл 72° е вписан в окръжност с радиус R. Намерете лицето на вписания многоъгълника кръг.

Α) πR cos 36°

Б) πR² cos² 36°

Β) πR² sin² 36°

Γ) πR² cos² 54


2 зад. Дължината на радиуса на вписаната в правилен шестоъгълник окръжност е 8√3. Дължината на описаната около шестоъгълника окръжност е:

Α) 32 π

Б) 16 π

Β) 8 π

Γ) 4 π

[Евва]

1 зад. R - радиус на описаната окр. около правилн. многоъгълник
r - радиус на вписания в многоъг. кръг

Скрит текст: покажи

Центровете на окр. и кръга съвпадат .

r=? S=?
360[tex]^\circ[/tex]:72[tex]^\circ[/tex]= 5 [tex]\Rightarrow[/tex] това е правилен петоъгълник ABCDE
Построяваме ОН височина към основата (АВ) в равнобедрения [tex]\triangle[/tex]АВО (AO=BO=R)
Тогава ОН е и ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]АОВ =72[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]АОН=[tex]\angle[/tex]ВОН=36[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АНО е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]АОН=36[tex]^\circ[/tex]
cos[tex]\angle[/tex]AOH=[tex]\frac{OH}{AO}[/tex] ; cos36[tex]^\circ[/tex] =[tex]\frac{r}{R}[/tex]
r= Rcos36[tex]^\circ[/tex]
S=[tex]\pi r^{2 } = \pi R^{2 } cos^{2 }36 ^\circ[/tex] отг. Б)

2 зад. ABCDEF - правилен шестоъгълник , нека т.Н е среда на страната АВ ; r=OH= 8[tex]\sqrt{3}[/tex]
OA=R=? [tex]l_{описаната }[/tex]=?
Докажи ,че [tex]\triangle[/tex]АНО е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]АОН=30[tex]^\circ[/tex] .
Тогава катетът АН=[tex]\frac{АО}{2}[/tex] ; АН=[tex]\frac{R}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AHO) [tex]AH^{2 } + OH^{2 } = AO^{2}[/tex]

[tex]\frac{ R^{2 } }{4} + (8 \sqrt{3}) ^{2 } = R^{2 }[/tex]
... ... ...
R=16
l=2[tex]\pi[/tex]R =2[tex]\pi[/tex]16 =32[tex]\pi[/tex] отг. A)