Решаване на триъгълник

[Гост]

Даден е произволен триъгълник ABC, в който е вписана окръжност с радиус r=2 см. Допирната точка на окръжността с една от страните на триъгълника я дели на две отсечки, чиито дължини са равни на 3 см и 4 см.
Да се намери лицето на триъгълника и дължините на страните му.

[Евва]

Разгледах 1 случай - остроъгълен триъгълник .
Получих АВ=7 см. ,АС=6,5 см. ,ВС=7,5 см. и S =21 [tex]см.^{2 }[/tex]
Нямам време да напиша решението .
Използвах формулата [tex]S_{ \triangle }[/tex] =[tex]\frac{ c^{2 }sin \alpha .sin \beta }{2sin \gamma }[/tex]

[ammornil]

Даден е произволен триъгълник ABC, в който е вписана окръжност с радиус r=2 см. Допирната точка на окръжността с една от страните на триъгълника я дели на две отсечки, чиито дължини са равни на 3 см и 4 см.
Да се намери лицето на триъгълника и дължините на страните му.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-05-07 091436.png (25.4 KiB) Прегледано 454 пъти

[tex]\\ \quad \\ AB=3+y, \quad BC=4+y, \quad AC=7 \\ p_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}=7+y \\ S_{ABC}=\sqrt{p\cdot{}(p-AB)\cdot{}(p-AC)\cdot{}(p-BC)}=\sqrt{(7+y)\cdot{4}\cdot{y}\cdot{3}}=\sqrt{12y(y+7)}\\ S_{ABC}=p\cdot{r}=2(7+y) \\ \sqrt{12y(y+7)}=2(7+y) \Leftrightarrow12y(y+7)=4(7+y)^{2} \Leftrightarrow 12y^{2}+84y=196+56y+4y^{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 8y^{2}+28y-196=0 \Leftrightarrow 2y^{2}+7y-49=0 \Rightarrow y_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}-4\cdot{2}\cdot{(-49)}}}{2\cdot{2}}=\frac{-7\pm21}{4} \\ y>0 \Rightarrow y=\frac{7}{2}[cm] \\ S_{ABC}=2(7+y)=21[cm^{2}]\\ AB=3+y=\frac{13}{2}=6\frac{1}{2}[cm], \quad BC=4+y=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}[cm], \quad AC=7[cm][/tex]

Забележете, че никъде не използваме вида на триъгълника, чертежът е само за визуализация на това, че частите от страните до точките на допиране считани от всеки един връх на триъгълника са равни помежду си, защото са допирателни от външна точка към окръжността. Понеже [tex]BC[/tex] е най-голяма, ако по Косинусова теорема определим [tex]\cos{\angle{BAC}}[/tex] се вижда, че триъгълникът в същност е остроъгълен. Това няма отношение към търсеното.

[S.B.]

Даден е произволен триъгълник ABC, в който е вписана окръжност с радиус r=2 см. Допирната точка на окръжността с една от страните на триъгълника я дели на две отсечки, чиито дължини са равни на 3 см и 4 см.
Да се намери лицето на триъгълника и дължините на страните му.

Без заглавие - 2024-05-07T131122.197.png (244.3 KiB) Прегледано 446 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] по условие е произволен.Все пак има данни които определят какъв вид е триъгълника.

Нека [tex]\angle BAC = \alpha , \angle ABC = \beta , O[/tex] е център на вписаната окръжност [tex]\Rightarrow AO,BO[/tex] са ъглополовящи.
[tex]OT \bot AB , AT = 3 , BT = 4 ,OT = 2[/tex] е радиус.
От [tex]\triangle AOT:[/tex]
[tex]\frac{OT}{AT} = \tg \angle OAT \Leftrightarrow \frac{2}{3}= \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{1- \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{1 + \ tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1 - \frac{4}{9} }{1 + \frac{4}{9} } = \frac{5}{13} >0 \Rightarrow \alpha < 90 ^\circ[/tex]

От [tex]\triangle BOT:[/tex]
[tex]\frac{OT}{BT} = \tg \angle OBT \Leftrightarrow \frac{2}{4} = \tg \frac{ \beta }{2} \Rightarrow \tg \frac{ \beta }{2} = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\cos \beta = \frac{1 - \tg^{2 } \frac{ \beta }{2} }{1 + tg^{2 } \frac{ \beta }{2} } \Leftrightarrow \cos \beta = \frac{1- \frac{1}{4} }{1 + \frac{1}{4} } = \frac{3}{5} > 0 \Rightarrow \beta < 90 ^\circ[/tex]

Косинусът е намаляваща функция в интервала [tex](0 ; \frac{ \pi }{2}) \Rightarrow[/tex] на по- голямата стойност на косинуса отговаря по- малкият ъгъл:
[tex]\cos \alpha = \frac{5}{13} , \cos \beta = \frac{3}{5} ; \frac{5}{13} < \frac{3}{5} \Rightarrow \alpha > \beta \Rightarrow BC > AC[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] ще приложа Синусова теорема:
Определям [tex]\sin \alpha = \frac{12}{13}, \sin \beta = \frac{4}{5}[/tex]
$BC = BM + MC = 4 + x$
$AC = AN + NC = 3 + x$
(Което следва от свойството на допирателните от външна точка към окръжността)

[tex]\frac{BC}{\sin \alpha } = \frac{AC}{\sin \beta } \Leftrightarrow \frac{x + 4}{ \frac{12}{13} } = \frac{x + 3}{ \frac{4}{5} } \Leftrightarrow 52(x + 4) = 60(x + 3) \Leftrightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3,5[/tex]
[tex]\Rightarrow BC = 4 + 3,5 = 7,5 ; AC = 3 + 3,5 = 6,5 ; AB = 7[/tex]
[tex]BC = 7,5[/tex] е най - голямата страна,срещу нея лежи [tex]\angle BAC = \alpha[/tex] за който доказахме ,че е остър ,[tex]\Rightarrow \triangle ABC[/tex] е остроъгълен.
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{21}{2} .2 = 21 cm^{2 }[/tex]

[S.B.]

Разгледах 1 случай - остроъгълен триъгълник .
Получих АВ=7 см. ,АС=6,5 см. ,ВС=7,5 см. и S =21 [tex]см.^{2 }[/tex]
Нямам време да напиша решението .
Използвах формулата [tex]S_{ \triangle }[/tex] =[tex]\frac{ c^{2 }sin \alpha .sin \beta }{2sin \gamma }[/tex]

Няма втори и трети случай.Аз доказах в моето решение,че триъгълникът може да бъде само остроъгълен.Отговорът е този който и ти получаваш.