Равнобедрен , правоъгълен триъгълник

[Гост]

Точка "М" е медицентър на равнобедрения , правоъгълен триъгълник АВС. Права през т."М" , успоредна на ВС , пресича АС и АВ в точки Р и Q . Лицето на триъгълника PCQ е 20 кв. см.
Намерете лицето на триъгълника АВС.

[Tilko]

В равнобедрен правоъгълен [tex]\triangle[/tex], медицентарът М е също така и център на окръжността описана около триъгълника. Това означава, че М е средата на хипотенузата АВ. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] АМР, [tex]\triangle[/tex] ВМQ и [tex]\triangle[/tex] PCQ са подобни на АВС. Отношението на лицата на двата триъгълника е равно на квадрата на отношението на съответните им страни. Значи ако обозначим с h дължината на височината на АВС от С до АВ, то имаме:
[tex]\frac{ S_{PCQ } }{ S_{ABC } }[/tex] = [tex]( \frac{PC}{AC}) ^{2 }[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{ S_{PCQ }*AC^{2 } }{ PC^{2 } }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]PCQ е равнобедрен, значи PC e половината от АС, заместваме РС с [tex]\frac{АС}{2}[/tex] и става:
[tex]S_{ABC }[/tex] = 4*[tex]S_{PCQ }[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex] = 4 * 20 [tex]см^{2 }[/tex] = 80 [tex]см^{2 }[/tex]

[Гост]

Благодаря, че се отзовахте и сте отделили време да решите задачата, но не съм съгласна с това ,че медицентърът на т-к АВС съвпада с центъра на описаната около т-к АВС окръжност.
Всички знаем, че центърът на описаната около т-к окръжност е точката ,в която се пресичат трите симетрали на т-ка. В нашият случай т-ка е равнобедрен, а не равностранен и няма как и трите
медиани да са и височини( за да са симетрали), оттам няма как медицентърът М на т-ка АВС да лежи на хипотенузата АВ. Средата на хипотенузата АВ всъщност е центърът на описаната около
т-ка АВС окръжност . Всъщност , тази вечер мисля, че реших задачата , но получих за лицето на АВС 90 кв.см.