тригонометрия в трапец

[Гост]

Добър ден, може ли помощ за следната задача:
Трите страни на трапец са равни помежду си, лицето му е 8 см2 , а два от ъглите му са 30°. Намерете страните му.

[S.B.]

Добър ден, може ли помощ за следната задача:
Трите страни на трапец са равни помежду си, лицето му е 8 см2 , а два от ъглите му са 30°. Намерете страните му.

Без заглавие - 2024-06-07T114717.298.png (189.54 KiB) Прегледано 236 пъти

$AD = CD = BC = b$ , [tex]\angle A = \angle B = 30 ^\circ[/tex]

[tex]DM \bot AB , CN \bot AB, \triangle AMD \cong \triangle BNC \Rightarrow AM = BN = x ,DM = CN = h[/tex]

От [tex]\triangle AMD \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{AM}{AD} = \cos30 ^\circ \Leftrightarrow \frac{x}{b} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow x = \frac{b \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\frac{DM}{DA} = \sin 30 ^\circ \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow h = \frac{b}{2}[/tex]

$MNCD$ е правоъгълник и $MN = CD = b$ (Защо?)

[tex]AB = MN + 2x \Leftrightarrow AB = b + 2 \frac{b \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow AB= b + b \sqrt{3} \Rightarrow AB = b(1 + \sqrt{3})[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.h \Leftrightarrow 8 = \frac{b(1 + \sqrt{3}) + b }{2}. \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{b(2 + \sqrt{3}) }{2}. \frac{b}{2} = 8 \Leftrightarrow \frac{ b^{2 }(2 + \sqrt{3}) }{4} = 8 \Leftrightarrow b^{2 } = \frac{32}{2 + \sqrt{3} }[/tex]

$$\Rightarrow b = \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } } $$

Получаваме :
[tex]AD = CD = BC = b = \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } }[/tex]

[tex]AB = b(1 + \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3}) \sqrt{2} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } }[/tex]

Оставям на Вас удоволствието да рационализирате отговорите!

[pal702004]

Все пак е добре да се рационализира още $b=4(\sqrt 3-1)$
Подсказка $2+\sqrt 3=\dfrac{(\sqrt 3+1)^2}{2}$
Също така е добре да се разгледа случая, когато бедрата са равни на голямата основа.

[Гост]

Също така е добре да се разгледа случая, когато бедрата са равни на голямата основа.

Бихте ли направили чертежа , че нещо не се получава с тези два ъгъла по [tex]30 ^\circ[/tex]?

[pal702004]

Именно. За да се получи, ъглите при основата трябва да са по-големи от 60 градуса. (При 60 имаме равностранен триъгълник и трябва да "раздалечим" бедрата)
Или, ако продължим бедрата на трапеца до пресичането им, ще получим равнобедрен триъгълник с бедро, по-голямо от основата. А срещу по-голяма страна има по-голям ъгъл.