парабола

[Гост]

Добър ден, може ли да помогнете с тази задача?

Допирателните през точка А(2;2) към параболата у= [tex]x^{2 }[/tex] +3х +1 са:
А) у=х, у= 13х - 24
Б) у = 13х, у = х - 24
В) у = -х, у= 13х + 24
Г) у = -13х, у = 13х + 24

[Гост]

Ако не трябва да намерим уравненията на допирателните, а само да изберем верния отговор, избираме този, в който системата от двете уравнения има за решение $x=2;\ y=2$, т.е. допирателните минават през точка $A(2,2)$ - това е отговор А)

[Гост]

Ако трябва да намерим уравненията на допирателните, първо си означаваме точката на допир $T(x_T,y_T)$, като нека параболата е $P\equiv y=x^2+3x+1$, а допирателната $l\equiv y=kx+n$. Сега от $T(x_T,y_T)\in P\Rightarrow y_T=x_T^2+3x_T+1$, а от $T(x_T,y_T)\in l\Rightarrow y_T=k.x_T+n$

Сега трябва да намерим параметрите на допирателната - ъгловия коефициент $k$ и ординатата при пресичане с ординатната ос $n$.

Ъгловият коефициент $k$ е скоростта на нарастване на квадратната функция в точката на допиране, а се нарича ъглов, понеже е равен също на тангенса на ъгъла между допирателната и положителната посока на абсцисната ос.

Скоростта на нарастване на функция в точка се измерва със стойността на производната. Така че записваме $k=(x^2+3x+1)'_x|_{x=x_T}=2x_T+3$, понеже производната на $f(x)=ax^2+bx+c$ е $f'(x)=2ax+b$

$n$ намираме от уравнението на допирателната $y_T=k.x_T+n\Rightarrow n=y_T-k.x_T=x_T^2+3x_T+1-(2x_T+3)x_T=-x_T^2+1$

Така уравнението на допирателната е $l\equiv y=(2x_T+3)x-x_T^2+1$

Но тя е прекарана през точка $A(2;2)\in l\Rightarrow 2=(2.x_T+3).2-x_T^2+1\Rightarrow x_T^2-4x_T-5=0\Rightarrow (x_T-5)(x_T+1)=0$

Като заместим $x_T$ в уравнението на допирателната, получаваме две различни $l_1\equiv y=13x-24$ и $l_2\equiv y=x$

[pal702004]

Семейството на всички(*) прави в равнина, минаващи през точка $(2,2)$ се описва параметрично
$y=k(x-2)+2$, където $k$ е реален параметър. Или $y=kx-2k+2$
(* Единствената права, която не се описва с горната формула е $x=2$, но тя не е допирателна.)

За да се допира някоя/и от тези прави до параболата, трябва уравнението
$kx-2k+2=x^2+3x+1$ да има един (двоен) корен. ($x$ е абцисата на точката на допиране)
Или, дискриминантата на уравнението
$x^2-(k-3)x+2k-1=0$ да е нула.

$(k-3)^2-4(2k-1)=0$
$k^2-14k+13=0$

$k_1=1,k_2=13$

[peyo]

Добър ден, може ли да помогнете с тази задача?

Допирателните през точка А(2;2) към параболата у= [tex]x^{2 }[/tex] +3х +1 са:
А) у=х, у= 13х - 24
Б) у = 13х, у = х - 24
В) у = -х, у= 13х + 24
Г) у = -13х, у = 13х + 24

Код: Избери целия код

u = y-(x**2+3*x+1)
U = [ ["А", y-x, y-(13*x-24)],
["Б", y-13*x, y-(x-24)],
["В", y +x, y-(13*x+24)],
["Г", y+13*x, y-(13*x+24)]]
for q, u1,u2 in U:
    S=[solve([u,u1]),solve([u,u2])]
    if len(S[0]) == len(S[1]) == 1:
        print(q,"e решение","$",S,"$")

А e решение $ [[{x: -1, y: -1}], [{x: 5, y: 41}]] $