задача с височина, ъглополовяща и медиана в триъгълник

[Гост]

Дано някой да помогне. Не е спешно, но тази задача не ми дава мира от години. Благодаря Ви предварително!

Задача: От върха С на триъгълник ABC са спуснати височина, ъглополовяща и медиана, които го разделят на четири равни ъгъла. На колко е равен ъгъл С?

Забележка: Би трябвало да се реши със знанията от 6 и 7 клас, най-много и осми.

[Гост]

Височина, ъглополовяща, медиана-page-001.jpg (175.49 KiB) Прегледано 792 пъти

[Гост]

Огромни благодарности за бързия и изчерпателен отговор!

[Гост]

Огромни благодарности за бързия и изчерпателен отговор!

ti koi klas si?

[Евва]

[tex]\angle[/tex]ACB =4[tex]\varphi[/tex] =?
Ето още една идея :
Нека LH=BH=x ( защото [tex]\triangle[/tex]LBC е равнобедрен ) ,ML=y ,CH=h ,BC=LC=a ( защото [tex]\triangle[/tex]LBC е равнобедрен ), CM=m и AC=b .

( CL-ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ABC) [tex]\frac{BL}{AL} =\frac{BC}{AC}[/tex] ;[tex]\frac{2x}{2(x+y)} = \frac{a}{b}[/tex] ;ax+ay=bx ; b=[tex]\frac{a(x+y)}{x}[/tex] (1)

(CM -ъглполовяща в [tex]\triangle[/tex]ALC) [tex]\frac{2x+y}{y} = \frac{b}{a}[/tex] (виж(1)) [tex]\frac{2x+y}{y} = \frac{a(x+y)}{ax}[/tex] ; [tex]2x^{2 }+xy=xy+ y^{2 }[/tex]
y=x[tex]\sqrt{2}[/tex] (2)

(CL -ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]MHC ) [tex]\frac{y}{x}= \frac{m}{h}[/tex] (виж (2)) [tex]\frac{x \sqrt{2} }{x} = \frac{m}{h}[/tex] ; m=h[tex]\sqrt{2}[/tex] (3)

За финал Питагор в правоъг.[tex]\triangle[/tex]MHC [tex]MH^{2 } +CH^{2 } = MC^{2 }[/tex]
[tex]( x+y)^{2 } +h^{2 } = m^{2 }[/tex] (виж (3)) [tex]( x+у)^{2 } +h^{2 } = 2h^{2 }[/tex] ;[tex]( x+y)^{2 } = h^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
x+y =h т.е. MH=CH [tex]\Rightarrow[/tex] правоъгълният [tex]\triangle[/tex]MHC е равнобедрен и тогава [tex]\angle[/tex]MCH=45[tex]^\circ[/tex]

Отбелязахме [tex]\angle[/tex]MCH=2[tex]\varphi[/tex] и доказахме ,че [tex]\angle[/tex]MCH=45[tex]^\circ \Rightarrow[/tex] 2[tex]\varphi[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ACB=4[tex]\varphi[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Вписан четириъгълник-page-001.jpg (224.38 KiB) Прегледано 728 пъти

[S.B.]

Дано някой да помогне. Не е спешно, но тази задача не ми дава мира от години. Благодаря Ви предварително!

Задача: От върха С на триъгълник ABC са спуснати височина, ъглополовяща и медиана, които го разделят на четири равни ъгъла. На колко е равен ъгъл С?

Забележка: Би трябвало да се реши със знанията от 6 и 7 клас, най-много и осми.

Без заглавие - 2024-07-16T213006.976.png (281.1 KiB) Прегледано 668 пъти

$CM,CL,CH $ - съответно медиана ,ъглополовяща и височина в [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\angle ACM = \angle MCL = \angle LCH = \angle HCB = \varphi[/tex] (по условие)
Около [tex]\triangle ABC[/tex] е описана окръжност $k$
Според теорема от 8 клас, симетралата на $AB$ и ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex] се пресичат в точка от окръжността $k$
[tex]PQ = S_{AB }, S_{AB } \cap CL = P , P \in k , S_{AB } \cap AB = M , S_{AB } \cap BC = Q[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle CHB :\angle HCB = \varphi \Rightarrow \angle B = 90 ^\circ - \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за правоъгълния [tex]\triangle MBQ ,\angle MQB = \varphi[/tex]
[tex]Q \in S_{AB } \Rightarrow AQ = BQ \Rightarrow \triangle ABQ[/tex] е равнобедрен и $QM$ е височина и ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle AQM = 2 \varphi[/tex]
За [tex]\triangle ACQ , \angle C= 4 \varphi[/tex] е външен , [tex]\angle AQC = 2 \varphi \Rightarrow \angle CAQ = 2 \varphi \Rightarrow \triangle ACQ[/tex] е равнобедрен и $AC = QC$
За [tex]\triangle MLP[/tex] и [tex]\triangle LCH[/tex]имаме :
[tex]\angle PML = \angle CHL = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\angle MLP = \angle CLH[/tex] (противоположни)
[tex]\Rightarrow \angle MPL = \angle LCH = \varphi[/tex]
Тогава [tex]\triangle PQC[/tex] е равнобедрен и $QC = CP$
[tex]\triangle ACM \cong PCM[/tex] (първи признак):
1) $AC = PC$
2) $CM$ е обща
3)[tex]\angle ACM = \angle PCM = \varphi[/tex]

Но [tex]\triangle PCM[/tex] е равнобедрен и $PM= MC$
От еднаквостта следва,че и [tex]\triangle AMC[/tex] също е равнобедрен и [tex]CM = AM \Rightarrow CM = \frac{AB}{2}[/tex]
Но $CM$ е медиана към $AB$ и [tex]CM = AM = MB \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е правоъгълен
$$\Rightarrow \angle C = 90 ^\circ $$

Скрит текст: покажи

Използван е материал за 7 клас - сбор от ъглите в триъгълника,симетрала , външен ъгъл за триъгълник,еднакви триъгълници ,медиана равна на половината от страната към която е спусната и една теорема от 8 клас за описана около триъгълник окръжност

[ptj]

S.B.,
Може да съкратите част от решението като използвате 2 пъти теоремата:
"Диаметър перпендикулярен на хорда я разполовява."

1.) [tex]MP[/tex] лежи върху диаметър на окръжността.
2.) От [tex]\angle{MPC}=\angle {MCP} \Rightarrow PM=MC[/tex], сл. [tex]М[/tex] лежи на симетралата на [tex]PC[/tex] (която формално съдържа втори диаметър).

От горните два реда следва ,че [tex]М[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност [tex](k)[/tex], сл. [tex]AB[/tex] e диаметър и [tex]\angle {ACB}=90 ^\circ[/tex].


П.П. Само не съм сигурен в кой клас се учи спомената теорема.

Интересно ми е също дали някой може да докаже с малко писане "еднозначността на условието", защото веднага се вижда, че 90[tex]^\circ[/tex] е решение.

[Гост]

Огромни благодарности за бързия и изчерпателен отговор!

ti koi klas si?

Пред пенсия съм и не съм учител...
А задачата ми я даде учителя ми по математика през 1978 г. с уговорката, че ако я реша, ще ми пише шестица за срока.