Приложение на тригонометрия при решаване на геометрия

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете за следната задача:
В правоъгълния триъгълник АВС хипотенузата АВ е 6 см и ъглополовящата BL e 2[tex]\sqrt{3}[/tex]. Най-малкият ъгъл в триъгълника е колко?

Стигнах до заключението, че sinA=cosB, опитах се да приложа и синусова теорема, но не стигнах доникъде.

[ammornil]

Здравейте, може ли да помогнете за следната задача:
В правоъгълния триъгълник АВС хипотенузата АВ е 6 см и ъглополовящата BL e 2[tex]\sqrt{3}[/tex]. Най-малкият ъгъл в триъгълника е колко?

Стигнах до заключението, че sinA=cosB, опитах се да приложа и синусова теорема, но не стигнах доникъде.

[tex]\\[12pt][/tex]

Screenshot 2024-12-28 190440.png (15.29 KiB) Прегледано 198 пъти

[tex]\\[12pt] \triangle{ABC}:\quad \angle{ACB}=\dfrac{\pi}{2}[rad], \quad AB=6[cm], \quad L\in{}AC, \angle{ABL}=\angle{LBC}, BL=2\sqrt{3}[cm]\\[12pt] : \angle{ABC}=\beta \quad \because \angle{ACB}=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow 0<\beta<\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \begin{cases} \angle{ABL}=\angle{LBC}=\dfrac{\beta}{2} \\ \angle{BAC}=\dfrac{\pi}{2}-\beta \end{cases} \\[6pt] \begin{array}{l} \triangle{ABC}: \quad BC=AB\cdot{}\cos{\beta} \\ \triangle{LBC}: \quad BC=BL\cdot{}cos{\dfrac{\beta}{2}}\end{array} \Rightarrow AB\cdot{}\cos{\beta}=BL\cdot{}cos{\dfrac{\beta}{2}} \Leftrightarrow 6\cos{\beta} -2\sqrt{3}cos{\dfrac{\beta}{2}}=0 \\[6pt] 3\left(2cos^{2}{\dfrac{\beta}{2}}-1\right)-\sqrt{3}cos{\dfrac{\beta}{2}}=0 \\ 6cos^{2}{\dfrac{\beta}{2}}-\sqrt{3}cos{\dfrac{\beta}{2}}-3=0 \\ cos{\dfrac{\beta}{2}}=u, (0<\beta<\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow 0<u<1) \Rightarrow 6u^{2}-\sqrt{3}u-3=0 \\ \quad D=(-\sqrt{3})^{2}-4\cdot{}6\cdot{}(-3)=3+72=75 \\ \quad u_{1,2}=\dfrac{\sqrt{3}\pm{}5\sqrt{3}}{2\cdot{6}} \Rightarrow \begin{array}{lcl} u_{1}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \notin{}Du & \cup & u_{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\in{}Du \end{array} \\[6pt] u=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos{\dfrac{\beta}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \dfrac{\beta}{2}=\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \beta=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \begin{cases} \angle{ABC}=\dfrac{\pi}{3} \\[6pt] \angle{BAC}=\dfrac{\pi}{6} \end{cases}[/tex] $$\angle{BAC}=\dfrac{\pi}{6}[rad]=30^{\circ} $$

[Гост]

Благодаря Ви.