Приложение на тригонометрия при решаване на геометрия

[Гост]

Здравейте, може ли помощ и за тези две задачи:

1. В триъгълник АВС страните АВ и АС са съответно 2 см и 1см. Колко сантиметра е медианата СМ, ако лицето му е [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВАС е най-големият ъгъл в триъгълника?
Получавам, че [tex]\triangle[/tex] АСМ е равностранен, следователно медианата е 1см, но като отговор е посочено [tex]\sqrt{3}[/tex] и не мога да си намеря грешката.

2. Синусите на два остри ъгли в триъгълник са съответно 4/5 и 5/13. Определете вида на триъгълника според ъглите.

[Гост]

Намерих си грешката в първата задача. Бях получил, че [tex]\angle \alpha[/tex] е 60[tex]^\circ[/tex], но не бях съобразил, че може и да е 120[tex]^\circ[/tex] (за да бъде най-големият ъгъл в триъгълника).

[Гост]

Триъгълник-page-001.jpg (97.95 KiB) Прегледано 252 пъти

[Евва]

Ето още една идея за 2 зад.
[tex]\triangle[/tex]АВС ( [tex]\alpha<90 ^\circ , \beta<90 ^\circ )[/tex] sin[tex]\alpha = \frac{4}{5}[/tex] и sin[tex]\beta = \frac{5}{13}[/tex]
Построяваме CH -височина в [tex]\triangle[/tex]ABC и нека CH=20[tex]h_{c }[/tex]

( [tex]\triangle[/tex]AHC -правоъгълен ) sin[tex]\alpha = \frac{CH}{AC} ;\frac{4}{5} = \frac{20 h_{c } }{AC} ; AC= 25 h_{c }[/tex]

( [tex]\triangle[/tex]HBC -правоъгълен ) sin[tex]\beta = \frac{CH}{BC} ; \frac{5}{13}= \frac{20 h_{c } }{BC} ;BC=52 h_{c }[/tex]
Лесно намираме AH=15[tex]h_{c }[/tex] ,BH=48[tex]h_{c }[/tex] ,тогава AB=63[tex]h_{c }[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABC -cos T) [tex]AB^{2 } =AC^{2 } +BC^{2 } - 2AC.BC.cos \gamma[/tex]

3 969[tex]h_{c } ^{2 } = 625 h_{c } ^{2 } +2 704 h_{c } ^{2 } -2.25 h_{c }52 h_{c }.cos \gamma[/tex]

cos[tex]\gamma = \frac{640}{- 2.25.52} < 0 \Rightarrow \gamma >90 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABC е тъпоъгълен

[S.B.]

И още един поглед върху задчата:
[tex]\begin{cases} \alpha < 90 ^\circ \\ \sin \alpha = \displaystyle \frac{4}{5} \end{cases} \Rightarrow \cos \alpha = \displaystyle \frac{3}{5}[/tex]

[tex]\begin{cases} \beta < 90 ^\circ \\ \sin \beta = \displaystyle \frac{5}{13} \end{cases} \Rightarrow \cos \beta = \displaystyle \frac{12}{13}[/tex]
[tex]\alpha , \beta , \gamma[/tex] са ъгли на триъгълник

[tex]\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \gamma = [180 ^\circ - ( \alpha + \beta)] \Rightarrow \cos \gamma = \cos[180 ^\circ - ( \alpha+ \beta)] = - \cos( \alpha + \beta )[/tex]

[tex]\Rightarrow \cos \gamma = - \cos( \alpha + \beta) = - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha\sin \beta ) = - ( \frac{3}{5}. \frac{12}{13} - \frac{4}{5}. \frac{5}{13}) = - \frac{36 - 20}{65} = - \frac{16}{65}[/tex]

[tex]\cos \gamma = - \frac{16}{65} , \cos \gamma < 0 \Rightarrow \gamma > 90 ^\circ[/tex]

Триъгълникът е тъпоъгълен

[Гост]

Благодаря ви и на тримата.