Геометрия

[Гост]

Относно координатна система K в равнината са дадени точките A(1, -3), B(8, 0), C(4, 8) и
D(-3, 5).
а) Да се провери дали A, B и C са колинеарни.
б) Да се докаже, че четириъгълникът ABCD е успоредник.
в) Да се намерят координатите на медицентъра G на
триъгълника ABC .

[Гост]

Няма да навреди във питането да бъде включена някоя възпитана думичка от рода на "моля", "ако обичате" и т.н., както и къде конкретно са проблемите с тази задача.

[Гост]

Ами нищо не разбирам!

[ammornil]

Относно координатна система K в равнината са дадени точките A(1, -3), B(8, 0), C(4, 8) и D(-3, 5).
а) Да се провери дали A, B и C са колинеарни.
б) Да се докаже, че четириъгълникът ABCD е успоредник.
в) Да се намерят координатите на медицентъра G на триъгълника ABC .

$\\[12pt]$ Три точки не са колинеарни, ако наклоните на кои да е две прави (всяка права съдържаща една двойка точки) не са равни.$ \\ $ Един четириъгълник е успоредник, ако всяка двойка срещулежащи страни са успоредни помежду си. $ \\ $ Медицентърът е пресечна точка на медианите. Намираме уравненията на правите на две от медианите и намираме пресечната им точка. $\\[24pt] \begin{cases} A(1, -3) \\ B(8,0) \\ C(4, 8) \end{cases} \rightarrow \dfrac{x_{A}-x_{B}}{y_{A}-y_{B}}\ne{}\dfrac{x_{B}-x_{C}}{y_{B}-y_{C}} \Rightarrow \bold{ A(1, -3), B(8,0), C(4, 8) \text{ не са колинеарни}} \\[24pt] k_{AB}=\dfrac{x_{A}-x_{B}}{y_{A}-y_{B}}=\dfrac{1-8}{-3-0}=\dfrac{7}{3} \\[6pt] k_{BC}=\dfrac{x_{B}-x_{C}}{y_{B}-y_{C}}=\dfrac{8-4}{0-8}=-\dfrac{1}{2} \\[6pt] k_{CD}=\dfrac{x_{C}-x_{D}}{y_{C}-y_{D}}=\dfrac{4-(-3)}{8-5}=\dfrac{7}{3} \\[6pt] k_{DA}=\dfrac{x_{D}-x_{A}}{y_{D}-y_{A}}=\dfrac{-3-1}{5-(-3)}=-\dfrac{1}{2} \\[6pt] \begin{cases} k_{AB}=k_{CD} \Rightarrow AB\| CD \\ k_{AD}=k_{BC} \Rightarrow AD\| BC \end{cases} \Rightarrow \bold{ABCD \text{ е успоредник}} \\[24pt] \because{} \begin{cases} M\in{}AB \\ AM=BM \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2} \\[6pt] y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{M}=\dfrac{9}{2} \\[6pt] y_{M}=-\dfrac{3}{2} \end{array} \\[6pt] \because{} \begin{cases} N\in{}AC \\ AN=CN \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{N}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2} \\[6pt] y_{N}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{N}=\dfrac{5}{2} \\[6pt] y_{N}=\dfrac{5}{2} \end{array} \\[6pt] l_{CM}: \quad{} (x_{C}-x_{M})\cdot{}(y-y_{C})=(x-x_{C})\cdot{}(y_{C}-y_{M}) \\[6pt] \quad{} \quad{} \quad{} \left(4-\dfrac{9}{2} \right)(y-8)=(x-4)\left(8+\dfrac{3}{2} \right) \\[6pt] \quad{}\quad{}\quad{} -\dfrac{1}{2}(y-8)=\dfrac{19}{2}(x-4) \\[6pt] \quad{}\quad{}\quad{} -y+8=19x-76 \\[6pt] \quad{} \boxed{ l_{CM}: \quad{} 19x+y-84=0 } \\[6pt] l_{BN}: \quad{} (x_{B}-x_{N})\cdot{}(y-y_{B})=(x-x_{B})\cdot{}(y_{B}-y_{N}) \\[6pt] \quad{} \quad{} \quad{} \left(8-\dfrac{5}{2} \right)(y-0)=(x-8)\left(0-\dfrac{5}{2} \right) \\[6pt] \quad{} \quad{} \quad{} \dfrac{11}{2}y=-\dfrac{5}{2}(x-8) \\[6pt] \quad{} \quad{} \quad{} 11y=-5x+40 \\[6pt] \quad{} \boxed{ l_{BN}: \quad{} 5x+11y-40=0 } \\[6pt] G(x_{G}, y_{G})=l_{CM}\cap{}l_{BN} \Rightarrow \begin{array}{|l} 19x_{G}+y_{G}=84 \\ 5x_{G}+11y_{G}=40 \end{array} \rightarrow \begin{array}{||rr|r||} 19&1&84 \\ 5&11&40 \end{array} \\[6pt] \quad{} D=\begin{vmatrix} 19&1\\ 5&11 \end{vmatrix} = 19\cdot{}11-1\cdot{}5=204 \\[6pt] \quad{} D_{x}=\begin{vmatrix} 84&1\\ 40&11 \end{vmatrix} =84\cdot{}11-40\cdot{}1=884 \\[6pt] \quad{} D_{y}=\begin{vmatrix} 19&84\\ 5&40 \end{vmatrix} = 19\cdot{}40-84\cdot{}5= 340 \\[6pt] x_{G}=\dfrac{884}{204}=\dfrac{4\cdot{}13\cdot{}17}{3\cdot{}4\cdot{}17}=4\dfrac{1}{3} \\[6pt] y_{G}=\dfrac{340}{204}=\dfrac{4\cdot{}5\cdot{}17}{3\cdot{}4\cdot{}17}=1\dfrac{2}{3} \\[6pt] \bold{G\left(4\dfrac{1}{3}, 1\dfrac{2}{3} \right)} \\[24pt] $ Системата за координатите на медицентъра може да решите и със знания за решаване на системи линейни уравнения без помощта на матрици и детерминанти. $ \\ $ Проверете внимателно за изчислителни грешки, защото смятах директно в LATEX.

[Гост]

Благодаря много!