Четириъгълна пирамида

[Гост]

Основата на четириъгълна пирамида ABCDQ е правоъгълник АBCD със страни АВ = 4 и ВС = 2√2. Околните стени ADQ и CDQ са перпендикулярни на равнината на основата. Околният ръб ВО сключва с равнината на основата ъгъл гама такъв, че sin γ =5 /7
а) Да се намерят обемът на пирамидата и тангенсът на ъгъла γ , който равнината АCQ сключва с равнината на основата.
б) През основния ръб АВ и произволна точка N от ръба DQ е построена равнина у (N може да съвпада с D или Q). Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на лицето на сечението на пирамидата с равнината ү.

[KOPMOPAH]

Пирамида с основа правоъгълник.png (17.58 KiB) Прегледано 218 пъти

По Питагорова теорема диагоналът се получава $2\sqrt 6$.

Щом $\sin \gamma =\frac 57\Rightarrow \tg \gamma=\frac{5}{2\sqrt 6}$.

Тогава ${QD}={DB}.\tg \gamma=2\sqrt 6.\frac{5}{2\sqrt 6}=5$ и оттам за обема получаваме:$$V=\frac 13.4.5.2\sqrt 2=\cdots$$

За намиране тангенса на ъгъла между равнината $ACQ$ и основата ни е необходимо да знаем дължината на височината $AH$ в $\triangle ACD$. Използваме формулата:$$\frac {AD.CD}2=\frac{AC.DH}2 \Rightarrow DH=\cdots$$Тангенсът на търсения ъгъл, който НЕ е $\gamma$ (отбелязан на чертежа $\alpha$), се намира от отношението $\frac {QD}{DH}$.



Ако отбележим $QN=x$, от подобието на $\triangle NLQ \approx \triangle DCQ$ следва, че $\frac x{NL}=\frac 54\Rightarrow NL=\frac 45x$.

По Питагорова теорема $AN=\sqrt{(5-x)^2+\left(2\sqrt 2\right)^2}=\sqrt{x^2-10x+33}$.

Лицето на сечението е:$$S=\frac{AB+NL}2.AN=\frac{\displaystyle 4+\frac 45x}2.\sqrt{x^2-10x+33}=\frac 25(x+5)\sqrt{x^2-10x+33}$$

За намиране на минимума и максимума на сечението трябва да намерим първата производна на функцията и да я приравним на нула:$$f'=\frac 25\left(\sqrt{x^2-10x+33}+\frac{1}{2\sqrt{x^2-10x+33}}.(2x-10) \right)$$След преработка стигаме до:$$x^2-5x+4=0$$с очевидните корени $1$ и $4$.

Заместваме във формулата за лицето и намираме търсените минимум и максимум.

[Гост]

Благодаря!