Четириъгълна пирамида

[Гост]

Основата на четириъгълна пирамида АBCDM е правоъгълник, като AB = а. Околните ръбове са равни помежду си и са равни на b. Да се намери дължината на страната AD, при която пирамидата има Vmax.

[ammornil]

Основата на четириъгълна пирамида АBCDM е правоъгълник, като AB = а. Околните ръбове са равни помежду си и са равни на b. Да се намери дължината на страната AD, при която пирамидата има Vmax.

$\\[24pt] ABCD, AB= CD= a, \quad AD= BC= x, \quad \angle{DAC}=\angle{CBA}=90^{\circ} \\[6pt] M\notin{}p(ABCD), \quad AM=BM=CM=DM=b \\[6pt]\quad \because{}V_{ABCDM}=V_{max_{ABCDM}} \to{} x=?\\[12pt] B=a\cdot{}x \\[6pt] BD\cap{}AC= O, \quad AO= BO= CO= DO= \dfrac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{2} \\[6pt] MO\bot{} p(ABCD), \quad MO=H \\[6pt] H^{2}+\left( \dfrac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{2} \right)^{2}= b^{2} \quad \Leftrightarrow \quad H= \dfrac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}-x^{2}}}{2} \\[12pt] V_{ABCDM}= B\cdot{}H= \dfrac{1}{2}ax\sqrt{4b^{2}-a^{2}-x^{2}}\\[12pt] V'(x)= \dfrac{1}{2}a\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}} +\dfrac{1}{2}ax\cdot{}\dfrac{-2x}{2\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}}}=\dfrac{a(4b^{2}-a^{2}-x^{2})-ax^{2}}{2\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}}}= \dfrac{a(4b^{2}-a^{2})-2ax^{2}}{\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}}} \\[6pt] \exists{}V(x)_{max} \Rightarrow a(4b^{2} -a^{2}) -2ax^{2}= 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}= \dfrac{4b^{2} -a^{2}}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x=\sqrt{\dfrac{4b^{2} -a^{2}}{2}} \\[12pt] $

Скрит текст: покажи

$V''(x)=\dfrac{-4ax\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}} -\dfrac{-2x}{2\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}}}\cdot{}[a(4b^{2}-a^{2})-2ax^{2}]}{(\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}})^{2}}= \dfrac{-4ax(4b^{2} -a^{2} -x^{2})+x[a(4b^{2}-a^{2})-2ax^{2}]}{(4b^{2} -a^{2} -x^{2})\sqrt{4b^{2} -a^{2} -x^{2}}} =\cdots $