Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тези две задачи?

1) Две успоредни хорди АВ и СD са разположени от една и съща страна спрямо центъра О на окръжността с радиус 30 см. Хордата АВ=48 см, а хордата СD = 36 см. Разстоянието между хордите е равно на:

2) В правоъгълен триъгълник АВС е вписана окръжност с радиус r. Ако СD е височина, намерете разстоянието между центровете на вписаните в АСD и ВСD окръжности.

Ще съм благодарен и за чертеж за двете задачи.

[ammornil]

1) Две успоредни хорди АВ и СD са разположени от една и съща страна спрямо центъра О на окръжността с радиус 30 см. Хордата АВ=48 см, а хордата СD = 36 см. Разстоянието между хордите е равно на:

$\\[12pt] $

Screenshot 2025-01-25 130852.png (26.8 KiB) Прегледано 179 пъти

$\\[12pt] AB\|CD,\quad{} OA= OB= OC= OD= 30[cm], \quad{} AB= 48[cm], \quad CD= 36[cm]\\[12pt] AE= EB= 24[cm], \quad CF= DF= 18[cm]\\[12pt] \begin{cases}AO= BO= R \\ AE=EB \end{cases} \Rightarrow OE\bot{}AB \Rightarrow OE= \sqrt{AO^{2}-AE^{2}}= \cdots{}= 18[cm] \\[12pt] \begin{cases}CO= DO= R \\ CD=FD \end{cases} \Rightarrow OF\bot{}CD \Rightarrow OF= \sqrt{CO^{2}-CF^{2}}= \cdots{}= 24[cm] \\[12pt] EF= OF-OE= 6[cm]$

[Гост]

Благодаря Ви.

[Гост]

2) Да построим [tex]\triangle[/tex]ABC ([tex]\angle[/tex]ACD=90[tex]^\circ )[/tex] ,при който BC>AC .
[tex]K_{1 }( O_{1 } ; r_{1 } )[/tex] е вписана в [tex]\triangle[/tex]ADC и [tex]x_{1 } K_{2 }( O_{2 } ; r_{2 } )[/tex] е вписана в [tex]\triangle[/tex]DBC
[tex]O_{1 } O_{2 }[/tex] =?

[tex]\triangle[/tex]ACD[tex]\approx \triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ r_{1 } }{r} =\frac{AC}{AB}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]CBD[tex]\approx \triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ r_{2 } }{r}= \frac{BC}{AB}[/tex]

Намираме [tex]r_{1 } ^{2 } = \frac{ r^{2 } AC^{2 } }{ AB^{2 } }[/tex] и [tex]r_{2 } ^{2 }= \frac{ r^{2 } BC^{2 } }{ AB^{2 } }[/tex] (1)

В/у отсечката AB нанасяме точките E , F така ,че [tex]O_{1 }E= r_{1 }[/tex] и [tex]O_{2 }F= r_{2 }[/tex] .
В/у отс. [tex]O_{2 }F[/tex] нанасяме т. P така ,че EFP[tex]O_{1 }[/tex] е правоъгълник .
Нека [tex]O_{1 } P \cap CD =т. T[/tex] и т.H лежи на CD така ,че DF[tex]O_{2 } H[/tex] е квадрат .
[tex]\triangle O_{1 } PO_{2 }[/tex] е правоъгълен [tex]O_{1 } O_{2 } ^{2 }[/tex] = [tex]O_{1 } P ^{2 } + O_{2 } P ^{2 }[/tex]=

=[tex]( O_{1 } T+TP) ^{2 } + ( O_{2 }F - O_{1 } E) ^{2 }[/tex]=

Скрит текст: покажи

Лесно се доказва ,че EDT[tex]O_{1 }[/tex] и DF[tex]O_{2 }[/tex]H са квадрати .

=[tex]( r_{1 } +r_{2 }) ^{2 } + ( r_{2 } -r_{1 } )^{2 }[/tex]=

=[tex]r_{1 } ^{2 }+2 r_{1 } r_{2 } + r_{2 } ^{2 }+ r_{2 } ^{2 }-2 r_{1 } r_{2 } + r_{1 } ^{2 }[/tex]=

=2[tex]( r_{1 } ^{2 }+ r_{2 } ^{2 } )[/tex] [ виж(1) ]

=2([tex]\frac{ r^{2 } AC^{2 } }{ AB^{2 } } + \frac{ r^{2 } BC^{2 } }{ AB^{2 } }[/tex])= 2.[tex]\frac{r^{2 }( AC^{2 }+ BC^{2 }) }{ AB^{2 } }[/tex]=

=[tex]\frac{2 r^{2 } AB^{2 } }{ AB^{2 } }=[/tex] 2[tex]r^{2 }[/tex]

Получихме [tex]O_{1 } O_{2 } ^{2 } =2 r^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]O_{1 } O_{2 } =r \sqrt{2}[/tex]

[Евва]

Докато пишех решението , системата за пореден път ме е изхвърлила от профила .
Защо се получава това ?

[ptj]

Докато пишех решението , системата за пореден път ме е изхвърлила от профила .
Защо се получава това ?

Защото пишеш прекалено дълги решения.

--------------------------------------
1-вата:

Знаейки че (3,4,5) е Питагорова тройка, веднага трябва да съобразиш, че [tex](6.3)^2+(6.4)^2=(6.5)^2[/tex].

Тогава 4-те малки правоъгълни триъгълника на горния чертеж са еднакви,

а търсеното разстояние е точно разликата между големия и малкия катет в тях, т.е. [tex]24-18=6[/tex]

------------------------------------------
2-рата:

Очевидно 3-те правоъгълни триъгълника са подобни. По-точно катетите в основния са съответно хипотенузи в останалите 2.

Това води до съотношенията [tex]r_1:r=sin( \alpha )[/tex] и [tex]r_2:r=cos( \alpha )[/tex].

Знаем, че центъра на вписаната окръжност е пресечена точка на ъглополовящите, тогава [tex]DO_1[/tex] и [tex]DO_2[/tex] сключват 45 градусови ъгли с височината [tex]CD[/tex].

Знаейки че хипотенузата в равнобедрен правоъгълен триъгълник е [tex]\sqrt{2}[/tex] по дължината на катета,

намираме [tex]DO_1=r.sin( \alpha ). \sqrt{2}[/tex] и [tex]DO_2=r.cos( \alpha ). \sqrt{2}[/tex].

Остава да съобразим, че [tex]\triangle {О_1DO_2}[/tex] е правоъгълен и [tex]О_1О_2=r \sqrt{2}[/tex]

, защото [tex]sin^2( \alpha)+cos^2( \alpha )=1[/tex].

-----------------------------------------------
П.П. Относно нуждата от чертежи - единствено на втората правих една малка драсканица без букви, за да се ориентирам по-бързо кое къде е...

[ammornil]

Докато пишех решението , системата за пореден път ме е изхвърлила от профила .
Защо се получава това ?

Получава се тогава, когато връзката със сървъра се изгуби и браузерът не може да автентикира потребителя при повторното свързване. Отпадането на връзката може да се дължи на слаба връзка с Интернет или на дълго време отсъствие на активност, която опреснява връзката; а невъзможността да се автентикира потребителя може да е от това, че ползвате анонимен акаунт на браузера или браузерът Ви няма достъп до идентификационните данни за конкретния сайт. Причините за описания от Вас проблем може и да са различни от предложените от мен.