Подобни триъгълници

[Гост]

Добър вечер, ще съм благодарен, ако можете да помогнете със следната задача:

През точка D от основата АВ на равнобедрен триъгълник АВС е прекаран лъч СD, пресичащ описаната около АВС окръжност в точка Е. Намерете дължината на отсечката АС, ако СЕ=6 и DЕ:DС = 1:2.

Трябва да докажа, че [tex]\triangle[/tex] АDС [tex]\approx[/tex] ЕАС, но не виждам защо.

[ptj]

Идеята е , че CE e диаметър перпендикулярен на хордата AB, т.е. минава през нейната среда.

Горното очевидно е изпълнено когато точката [tex]D[/tex] съвпада със средата [tex]D_0[/tex] на [tex]AB[/tex],

a съответната пресечена точка на лъча [tex]CD_0[/tex] с окръжността ще означим с [tex]E_0[/tex].

От теоремата, че диаметър пепендикулярен на хорда я разполовява и от аксиомата,

че през точка съществува само една права успоредна на дадена, следва че CE_0 се явява диаметър.

Да допуснем, че съществува друга вътрешна точка [tex]D[/tex] от отсечката [tex]AB[/tex], за която условието е изпълнено.

Тъй като [tex]CD:DE=CD_0:D_0E_0=2:1[/tex], то [tex]DD_0\parallel EE_0 \Rightarrow AB \parallel EЕ_0 \Rightarrow CE_0 \bot EE_0[/tex] (обратна теорема на Талес или вектори)

Получихме, че [tex]ЕЕ_0[/tex] е допирателна.

Всяка допирателна има само една обща точка с окръжността към която е построена, т.е. [tex]Е \equiv Е_0[/tex], което в противоречие с допускането ни.

Т.е. съществува само една точка върху [tex]AB[/tex] изпълняваща условието [tex]DE:DC=1:2[/tex].

За съжаление условието не e достатъчно за намиране на [tex]AC[/tex], знаейки единствено диаметъра на описаната окръжност (CE=6).

П.П. Ако се чудите как ми хрумна идеята: Медицентъра има свойство да дели медианите в съотношение 2:1 считано от върха...

[Евва]

Скрит текст: покажи

Аз разсъждавам по различен начин от колегата .Не приемам ,че СЕ е диаметър .

Да си поиграем с ъгли , нека [tex]\angle[/tex]ВАС =[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]АСЕ =[tex]\varphi[/tex] .
Дадено е [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен с основа АВ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АВС =[tex]\alpha[/tex]

Вписаните [tex]\angle[/tex]АЕС и [tex]\angle[/tex]АВС отсичат една и съща дъга [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АЕС=[tex]\alpha[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ADC е с ъгли [tex]\alpha , 180 ^\circ - \alpha - \varphi , \varphi[/tex]
[tex]\triangle[/tex]EAC е с ъгли [tex]\alpha ,180 ^\circ- \alpha - \varphi , \varphi[/tex]
По 1 признак [tex]\triangle[/tex]ADC [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle[/tex] EAC [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{AC}{CE}= \frac{DC}{AC}[/tex] ;[tex]\frac{AC}{6}= \frac{4}{AC}[/tex] ;[tex]AC^{2 }[/tex]=24 ; AC=2[tex]\sqrt{6}[/tex]

[ptj]

Моя грешка - забравих да използвам съотношението 2:1.

В правоъгълния [tex]\triangle CBE[/tex] знаем дължината на хипотенузата [tex]CE=6[/tex], а петата на височината [tex]D[/tex] я дели в съотношение 2:1.



Тогава [tex]2:1=CD:DE= \frac{DB}{tg( \frac{ \gamma }{2} )}. \frac{tg(90- \frac{ \gamma }{2}) }{DB}= \frac{ctg( \frac{ \gamma }{2} )}{tg( \frac{ \gamma }{2} )} \Rightarrow tg^2( \frac{ \gamma }{2} )= \frac{1}{2} \Leftrightarrow tg^2( \frac{ \gamma }{2} )+1= \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{cos^2( \frac{ \gamma }{2} )} =\frac{3}{2} \Rightarrow cos( \frac{ \gamma }{2} )= \sqrt{ \frac{2}{3} }[/tex]

[tex]CD:CA=cos( \frac{ \gamma }{2} ) \Leftrightarrow \frac{4}{CA}= \sqrt{ \frac{2}{3} } \Rightarrow CA=4 \sqrt{ \frac{3}{2} }= 2 \sqrt{6}[/tex]

[Гост]

Благодаря Ви. Защо обаче СЕ да е диаметър, не трябва ли да ни е казано, че минава през центъра на описаната окръжност?

[ptj]

Благодаря Ви. Защо обаче СЕ да е диаметър, не трябва ли да ни е казано, че минава през центъра на описаната окръжност?

Първото ми доказателство не е коректно. По-късно ще пиша допълнително...

[ptj]

Благодаря Ви. Защо обаче СЕ да е диаметър, не трябва ли да ни е казано, че минава през центъра на описаната окръжност?

Благодаря за въпроса.Той ме накара да проверя по сериозно първото си доказателство и да намеря че неговата конструкция е няправилна. Имах идея, че ако продължим бедрата на тръгълника и ги засечем с права през [tex]Е[/tex] успоредна на основата ще получим отново равнобедрен триъгълник с медицентър [tex]D[/tex], което не е вярно .
Новия медицентър ще е средата на [tex]AB[/tex], a средата на новата основа лежи на диаметър през C, но не е задължително да е върху окръжността.
Последния абзац е съществен, защото именно обратното на него се опитвах да докажа...

Така че [tex]CE[/tex] в общия случай не е диаметър. Относно второто ми доказателство - не е парадокасално, че дава същия отговор като този на Евва.

Нейното доказателство е правилното, а то дава връзката между дължините на [tex]CE[/tex] и [tex]AC[/tex], която е фиксирана.

Затова ако знаете (или можете да докажете) , че съотношението е [tex]AC:CЕ[/tex] е константа, то можете да го намерите от коя да е частна конфигурация изпълняваща условието.

Това е причината във второто ми мнение да получа същия резулатат.


П.П. Много често пиша решения директно от клавиатурата на компютъра без да правя чертежи (изполвайки само въображението си) и затова понякога греша. Още повече вчера жена ми ме пришпорваше да ходим на ресторант и нямах врема за детайлна проверка на написаното...