Подобни триъгълници

[Гост]

Спешно моля за помощ със следната задача:
През пресечната точка Р на бедрата на трапеца ABCD е построена права успоредна на основите му, която пресича продълженията на диагоналите BD и АС съответно в точките М и N. Намерете дължината на отсечката МN, ако AB = 5 и CD = 2.

Благодаря предварително!

[Darina73]

ABCD - трапец и AB||CD
По условие MN||AB||CD
Правата AP пресича двете успоредни прави AB и CD .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABP и [tex]\triangle[/tex]DCP
1. [tex]\angle[/tex]BAP=[tex]\angle[/tex]CDP (съответни)
2. [tex]\angle[/tex]APB=[tex]\angle[/tex]DPC
по 1 признак [tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\approx \triangle[/tex]DCP [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{AP}{DP} =\frac{BP}{CP}= \frac{AB}{CD} ; \frac{AP}{DP}= \frac{5}{2}[/tex] и [tex]\frac{BP}{CP} =\frac{5}{2}[/tex]
Нека AP=5x ,DP=2x ,BP=5y ,CP=2y

AD=AP-DP=5x-2x= 3x
BC=BP-CP=5y-2y= 3y
Забелязваме ,че [tex]\triangle[/tex]ABD[tex]\approx \triangle[/tex]PMD по 1 признак ,защото
1. [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\angle[/tex]DPM (кръстни)
2. [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]PDM (връхни)
Тогава [tex]\frac{AB}{PM}= \frac{AD}{DP} ; \frac{5}{PM}= \frac{3x}{2x} ; PM= \frac{10}{3}[/tex]
По същия начин разглеждаме подобието на [tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]NPC и намираме PN=[tex]\frac{10}{3}[/tex]

MN=PM+PN =[tex]\frac{10}{3}+ \frac{10}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}[/tex]