Дължина на отсечка

[dobmirdob]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC. Нека М и N са петите на перпендикулярите от C към правите, определени от ъглополовящите на [tex]\angle[/tex]ABC и [tex]\angle[/tex] BAC съответно. Да се изрази дължината на MN чрез 3-те страни на [tex]\triangle[/tex]ABC.

[Darina73]

Може ли да пратиш отговора ?

[dobmirdob]

Нека все пак да мине някакво време от публикуването на задачата. Утре, ако никой дотогава не е написал нищо, ще кача решение.

[Гост]

MN-page-001.jpg (75.08 KiB) Прегледано 218 пъти

[Darina73]

Моят подход бе чрез cos T и решението ми се събра в 4 страници голям формат .
Хубавото е ,че получих същия отговор .

[dobmirdob]

Ето и едно сравнително кратко решение с тригонометрия:
Нека I е центърът на вписаната в [tex]\triangle[/tex] ABC окръжност. Лесно се съобразява, че МINC е вписан в окръжност. Имаме следните равенства:
MN=[tex]\frac{IN}{sin \angle IMN }[/tex]sin[tex]\angle[/tex]MIN=[tex]\frac{IN}{sin \angle ICN}[/tex].sin[tex]\angle[/tex]MIN=CI.sin[tex]\angle[/tex]MIN=CI.sin(90+[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex])=CI.cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex].
(Първото равенство следва от синусова теорема за [tex]\triangle[/tex]MIN, второто - от вписаността на MINC)
Оттук лесно се съобразява, че ако построим точка К, такава че IK[tex]\bot[/tex]AC, MN=CK, откъдето решението се завършва лесно.