Метрични зависимости

[Гост]

Моля за помощ със следната задача:
Даден е ∆АВС (C=90°), в който хипотенузата АВ=10 и АС: ВС=3:4. Да се намери разстоянието от медицентъра до височината към хипотенузата.

[ammornil]

Моля за помощ със следната задача:
Даден е ∆АВС (C=90°), в който хипотенузата АВ=10 и АС: ВС=3:4. Да се намери разстоянието от медицентъра до височината към хипотенузата.

$\\[24pt]$Моля да ме извините, че не предлагам чертеж. Нека $G$ е медицентърът на $\triangle{ABC} \\[12pt] x\in\mathbb{R}, x>0 \Rightarrow \begin{cases} AC=3x \\ BC=4x \end{cases} \Rightarrow (3x)^{2} +(4x)^{2}= 10^{2} \Leftrightarrow 25x^{2}= 100 \Leftrightarrow x=2 \Rightarrow \begin{cases} AC=6 \\ BC=8 \end{cases} \\[6pt] C_{1}\in{AB}, CC_{1}\bot{AB} \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot{CC_{1}}}{2} =\dfrac{AC\cdot{BC}}{2} \Rightarrow CC_{1}=\dfrac{AC\cdot{BC}}{AB}= \dfrac{24}{5} \\[6pt] AC^{2}=AC_{1}\cdot{AB} \Rightarrow AC_{1}=\dfrac{AC^{2}}{AB}= \dfrac{18}{5} \\[6pt]M\in{AB}, AM=BM=\dfrac{AB}{2}=5 \\[6pt] \angle{ACB}=90^{\circ} \Rightarrow CM=AM=BM, \quad G\in{CM}, \dfrac{CG}{GM}=\dfrac{2}{1} \Rightarrow \begin{cases} CG=\dfrac{2}{3}\cdot{CM}= \dfrac{10}{3} \\[6pt] GM=\dfrac{1}{3}\cdot{CM}=\dfrac{5}{3} \end{cases} \\[6pt] C_{1}M=AM-AC_{1}= 5-\dfrac{18}{5} =\dfrac{7}{5} \\[6pt] GP\bot{CC_{1}}, \quad P\in{CC_{1}} \\[6pt] \begin{cases} GP\bot{CC_{1}} \\ AB\bot{CC_{1}} \end{cases} \Rightarrow GP\|AB \Rightarrow \text{Теорема на Талес} \rightarrow \angle{C_{1}CM}: \quad \dfrac{GP}{MC_{1}}= \dfrac{CG}{CM} \Rightarrow GP= \dfrac{CG}{CM\cdot{MC_{1}}}= \dfrac{\dfrac{10}{3}}{5\cdot{\dfrac{7}{5}}}-= \dfrac{10}{3\cdot{7}}= \dfrac{10}{21}\\[12pt]$Проверете сметките за грешки.

[ammornil]

Ето я и грешката: $\\[12pt] \cdots \text{Теорема на Талес} \rightarrow \angle{C_{1}CM}: \quad \dfrac{GP}{MC_{1}}= \dfrac{CG}{CM} \Rightarrow \red{GP= \dfrac{CG\cdot{MC_{1}}}{CM}}= \dfrac{\dfrac{10}{3}\cdot{\dfrac{7}{5}}}{5}= \dfrac{14}{15}\\[12pt]$Проверете сметките за грешки.[/quote]