Построяване на триъгълник

[Гост]

Здравейте!
Може ли някой да помогне за решаването на следната задача:

Постройте триъгълник по дадени [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] и [tex]r+\sqrt{3}R-2m_{a}[/tex].

[Гост]

Откъде е задачата?

[Гост]

Задачата е взета от сборника на Стефан Копрински и Любен Топалов, "Задачи по елементарна математика", стр. 210, зад. 282.

[Гост]

Малко груби наблюдения:

На практика знаем всички ъгли на триъгълника, така че можем да си построим триъгълник (нека е ABC), подобен на търсения, без да използваме странната сума на отсечки, която ни е дадена. Нека фиксираме центъра на описаната окръжност (ще го наричаме O) на триъгълника, който сме си построили. Сега ще си построим отсечка с дължина r+[tex]\sqrt{3}[/tex]R-2[tex]m_{a }[/tex], където r, R [tex]m_{a }[/tex] са дължините на съответните "елементи" в триъгълника, който сме построили .

Отсечките r и 2[tex]m_{a }[/tex] построяваме лесно, а отсечката[tex]\sqrt{3}[/tex]R получаваме като построим равнобедрен триъгълник с бедро R и ъгъл срещу основата 120[tex]^\circ[/tex](тогава основата е [tex]\sqrt{3}[/tex]R). И така, можем да построим 3-те компонента на r+[tex]\sqrt{3}[/tex]R-2[tex]m_{a }[/tex], значи можем да построим и самата сума от тях. Получената отсечка нанасяме на лъча [tex]\vec{AO}[/tex], като единия й край е в A, а другият е някаква точка X. Сега се съсредоточаваме върху [tex]\angle[/tex]AXC (или [tex]\angle[/tex]AXB, разсъжденията са аналогични). Той е един и същ за всички триъгълници, подобни на ABC, а значи и за триъгълника, който искаме да построим (всъщност цялата работа досега беше, за да получим този ъгъл).

Сега вече ще построим триъгълника, който трябва. Строим 2 прави (b и c), сключващи ъгъл [tex]\alpha[/tex]. След това строим права (нека е o), сключваща ъгъл 90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] с b т.е. строим правата , съдържаща центъра на описаната окръжност на триъгълника, който искаме да построим. Взимаме тази права и нанасяме отсечката r+[tex]\sqrt{3}[/tex]R-2[tex]m_{a }[/tex] (която ни е дадена по условие), като единия и край е в пресечната точка на 2-те прави. Сега взимаме другия край на нанесената отсечка и през него строим права d, сключваща ъгъл [tex]\angle[/tex]AXC (който сме намерили в предния абзац и можем да пренесем просто) с o. Лесно се вижда, че b и d се пресичат във върха C на триъгълника, който трябва да построим. Сега вече имаме 2 от 3 построени върха на желания триъгълник и оттам лесно строим и третия.

[Гост]

Благодаря много за помощта! Помогна ми много