Правоъгълен трапец

[ceneto92]

В правоъгълен трапец е вписана окръжност. Допирната й точка с по-голямото бедро го разделя на отсечки с дължини 3 см и 12 см. Колко е дължината на другото бедро?

[martin123456]

Нека [tex]AB>CD[/tex] и [tex]AD\bot AB[/tex]. Нека допирните точки на окръжността със страните на трапеца [tex]AB,BC,CD,DA[/tex] са съответно [tex]M,N,P,Q[/tex].
(1)извествен факт е че [tex]AMPD[/tex] е правоъгълник (ако не знаеш как да го докажеш пиши)
значи [tex]AM=DP[/tex] и значи [tex]MB>PC[/tex]. от равните допирателни [tex]CP=CN[/tex] и [tex]MB=BN[/tex] излиза че [tex]NB>CN \Rightarrow BN=12, CN=3[/tex]. значи [tex]PC=3, BM=12[/tex]
пак от (1) и от известен факт (2): [tex]MP=2r=AD \Rightarrow AD=2r, PD=r=AM[/tex].
спускаме перпендикуляр [tex]CF\bot AB[/tex]. обаразува се праоъгълник [tex]AFCD \Rightarrow AF=x+3 \Rightarrow FB=9-x, CF=2r[/tex]. сега приложи питагорова т-ма за [tex]\Delta CFB[/tex]: [tex](2r)^2+(9-r)^2=15^2[/tex]

[L.e.o]

FМ= CP = 3
FB = BM-FM = 12-3 = 9 ?
[tex](2r)^2+9^2=15^2[/tex] => 2r = 6 = AD