Ъглополовяща в триъгълник

[ceneto92]

Ъглополовящата AL в триъгълника ABC разделя страната BC в отношение 2 : 3. Ако AL = 2√3 и ъгъл BAC = 60۬°, намерете лицето на триъгълника ABC.

[martin123456]

без ограничение [tex]BL=2x[/tex] и [tex]CL=3x[/tex].
от свойството на ъглополовящата намираме [tex]AC=3y[/tex] и [tex[AB=2y[/tex]
от косинусова т-ма с [tex]\angle A[/tex]: [tex]9y^2+4y^2-6y^2=25x^2 \Rightarrow 7y^2=25x^2[/tex]
от формулата за дължина на ъглополовяща: [tex](2\sqrt{3})^2=6y^2-6x^2[/tex]
оттук получаваме 2ро уравнение за [tex]x,y[/tex]
реши системата [tex]\Rightarrow x,y[/tex]
лицето е [tex]S=\frac{6y^2}{2}\sin{60^\circ}[/tex]