Трапец, Точка О е пресечна точка на диагоналите

[baroveca]

Даден е трапец ABCD (ABIICD).Точка О е пресечна точка на диагоналите. През тази точка O е построена права, успоредна на основата АВ,която пресича бедрата на трапеца в т. М и N.Ако АВ=а, CD=b, докажете,че [tex]MN=\frac{2ab}{ a+b}[/tex]

[L.e.o]

▲ABO ~ ▲OCD: AO/OC = a/b
AC = AO+OC = AO(1+b/a)
▲AOM ~ ▲ACD: AO/OM = AC/CD
AO/OM = AO(1+b/a)/b => OM = ab/(a+b)
Аналогично за ▲BON ~ ▲BCD => ON = ab/(a+b) => MN = 2ab/(a+b)