Отношение на страни в триъгълник

[kpabapko]

Даден е правоъгълен триъгълник АВС с ъгъл АВС = 30. Върху катета ВС е избрана точкa Q така, че
окръжността с диаметър CQ се допира до хипотенузата АВ. Окръжността пресича отсечката
AQ в точка P. Да се намери отношението AP : PQ.

Почти 2 часа я мисля вече и не мога да се сетя за почти нищо. Направих няколко построения, с които намерих някой отношения, но само до там. Благодаря предварително.

[ganka simeonova]

Ясно е, че АО е ъглополовяща за [tex]\angle BAC[/tex]
От [tex]\Delta ABC=>CB=a\sqrt{3}[/tex]; [tex]\Delta ACO=>\frac{x}{a } =tg30^\circ =>x=\frac{a\sqrt{3} }{ 3}[/tex]=>
[tex]CO=CQ=QB=\frac{a\sqrt{3} }{ 3}[/tex]
Oт [tex]\Delta AQO=>tg\varphi =\frac{a}{2x } =>tg\varphi =\frac{\sqrt{3} }{2 } =>sin\varphi =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{7} } ; cos\varphi =\frac{2}{\sqrt{7} }[/tex]
От [tex]AQC=>AQ=\frac{a}{ sin\varphi }[/tex], а от [tex]\Delta CPQ=>PQ=\frac{2a cos\varphi }{ \sqrt{3} }[/tex]

Тогава [tex]\frac{AQ}{PQ } =\frac{7}{4 } =>\frac{AP}{ PQ} =\frac{3}{4 }[/tex]

[kpabapko]

Мерси за отговора! Аз я реших вече, само че използвах ОМ(М е пресечната точка на окръжността с АВ). От ▲MBO намирам, че BQ=R и от там нататък решението е идентично, изразявам страната АС спрямо радиуса R и после с sin и cos намирам отношението.