Тригонометрично неравенство

[leon92x]

Да се докаже, че [tex]cosx \sqrt{sinx}\le \frac{\sqrt{2} }{\sqrt[4]{27} }[/tex] за всяко [tex]x\in [0;\frac{\pi }{2 } ][/tex]

[martin123456]

в [tex][0,\frac{\pi}{2}][/tex] имаме [tex]\sin{x}[/tex] и [tex]\cos{x}[/tex] са в [tex][0,1][/tex].
полагаме [tex]\sqrt{\sin{x}}=t \Rightarrow \sin{x}=t^2 \Rightarrow \cos{x}=\sqrt{1-\sin^2{x}}=\sqrt{1-t^4}[/tex]
трябва да док, че [tex]t\sqrt{1-t^4}\le \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{27}}[/tex] за [tex]t \in [0,1][/tex].
разглеждаме [tex]f(t)=t\sqrt{1-t^4}[/tex]. намираме [tex]f'(t)=\sqrt{1-t^4}-\frac{2t^4}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{1-3t^4}{\sqrt{1-t^4}}[/tex]. анулира се в [tex]t^4=\frac{1}{3}[/tex], т.е [tex]t=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}[/tex].положителна е между тези 2 точки значи лок максимум в [tex]\sqrt[4]{\frac{1}{3}}[/tex]. заместваме [tex]f(\sqrt[4]{\frac{1}{3}})=\sqrt[4]{\frac{1}{3}}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3^3}}[/tex].това е стойността на лок максимум. функцията обаче може да достига своя максимум в краищата на дефиниционния си интервал и като вземем предвид растенето и намаляването получаваме че единствената възможност е това да е в 0. тогава [tex]f(0)=0[/tex] и пак сме ок.