Въпрос за триъгълник

[sisoko15]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex] и трите му височини [tex]h_a[/tex], [tex]h_b[/tex], [tex]h_c[/tex] [tex](h_a x BC=A_1, h_bxAC=B_1, h_cxAB=C_1)[/tex]. Ако [tex]R[/tex] е радиусът на описаната около [tex]ABC[/tex] окръжност, а [tex]R_1[/tex]- на описаната около [tex]A_1B_1C_1[/tex] окръжност, то вярно ли е че [tex]2R_1=R[/tex]? Ако да, как се доказва?

[ganka simeonova]

При стандартни означения за страните и ъглите.
1) [tex]\Delta ABC\approx \Delta A_1B_1C[/tex] с коефициент на подобие [tex]k=\frac{A_1B_1}{ AB} =cos\gamma =>A_1B_1=AB.cos\gamma[/tex]

2)[tex]\angle A_1C_1B_1=180^\circ -2\gamma[/tex]

3)[tex]sin T: \Delta ABC=>\frac{c}{ sin\gamma } =2R[/tex]

4)[tex]sin T:\Delta A_1C_1B_1=>2R_1=\frac{A_1B_1}{ sin(180^\circ-2\gamma ) } =>2R_1=\frac{c.cos\gamma }{ sin2\gamma } =>2R_1=\frac{c.cos\gamma }{ 2sin\gamma.cos\gamma }[/tex]


[tex]=>2R_1=\frac{c}{ 2sin\gamma } =R[/tex]

[sisoko15]

Благодаря.