НГС на лице

[v1rusman]

зад. В четириъгълника ABCD с ъгли ∢ABC = 90 и ∢BAD = 30 е вписана окръжност с радиус r и около него може да се опише окръжност. Правоъгълникът MNPQ е вписан в четириъгълника ABCD така, че върховете му M и N лежат на страната АВ, P лежи на ВС и Q лежи на AD. Да се намери най-голямата стойност на лицето на правоъгълника MNPQ.

Чак сега обърнах внимание, че големината на ъглите не е написана.

[ganka simeonova]

зад. В четириъгълника ABCD с ъгли ∢ABC = и ∢BAD = е вписана окръжност с радиус r и около него може да се опише окръжност. Правоъгълникът MNPQ е вписан в четириъгълника ABCD така, че върховете му M и N лежат на страната АВ, P лежи на ВС и Q лежи на AD. Да се намери най-голямата стойност на лицето на правоъгълника MNPQ.

Tези ъгли на колко са равни?

[ganka simeonova]

Какро и да я гледам върховете В и N съвпадат според означенията, които си дал. Така ли е?

[v1rusman]

И аз мисля, че тези точки трябва да съвпадат, но не съм намерил някакъв израз за лицето, който лесно да се изследва, за да се намери стойността.

[ganka simeonova]

И аз мисля, че тези точки трябва да съвпадат, но не съм намерил някакъв израз за лицето, който лесно да се изследва, за да се намери стойността.

Ок, сега ще я помисля Ако въобще измисля нещо

[ganka simeonova]

Ще ти предложа едно решение, което не знам дали ще ти хареса.
1) Лесно се доказва, че този четириъгълник е делтоид. Т.е. [tex]AB=AD=a; BC=CD=b; AC\bot BD[/tex]
Означаваме [tex]MN=y; MQ=x=>AM=a-y[/tex]
[tex]\Delta ADC[/tex]е правоъгълен с 15-градусов ъгъл=>[tex]AC=4DH=>DH=h=>AC=4h[/tex]
Да изразим лицето по няколко начина.
[tex]S=ab; S=(a+b)r; S=4h^2=\frac{16h^2}{4 } =\frac{a^2+b^2}{ 4}[/tex]

=>[tex]4S=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=>4S=\frac{S^2}{ r^2} -2S=>S=6r^2[/tex]

[tex]ab=6r^2[/tex] От [tex]\Delta ADC=>b=a.tg15^\circ =>a^2tg15^\circ =6r^2=>a=r\sqrt{6.cotg15^\circ }[/tex]

[tex]\Delta AMQ=>\frac{a-y}{ x} =ctg30^\circ =>x=\frac{a-y}{\sqrt{3} }[/tex](1)

[tex]S_{MNPQ}=xy=\frac{ay-y^2}{\sqrt{3} }[/tex]
Нататък мисля, ч е ясно