Задача с триъгълник - един въпрос само ?

[kickboxer]

В остроъгълен триъгълник ABC с лице 54 см* отсечките AP (P e BC ) u CQ ( Q e AB ) са височини.Лицето на BPQ е 6см* и PQ=6 по корен от 2 см.Намерете радиуса на описаната около триъгълник ABC окръжност ?

Това е задачата,аз решение имам,но не мога да разбера по кое доказваме,че ABC u BPQ са подобни ??

[ganka simeonova]

АС "се вижда" от токите Р и Q по един и същ ъгъл ( прав). Това е НДУ около ACPQ да може да се опише окръжност.
Следователно: [tex]\angle ACP=\gamma =>\angle AQP=180^\circ -\gamma =>\angle PQB=\gamma[/tex]

[kickboxer]

Добре де,за да се впише един четириъгълник в окръжност трябва сборът на срещуположните ъгли да е равен на 180 градуса,нали така ? В нашия случай APC и CQA са по 90 градуса,как правиш извод,че може да се впише в окръжност ? (Другото е ясно,за гамата,но където ти казах,не те разбрах)

[ganka simeonova]

Винаги съм се ядосвала, че в учебниците за вписан четириъглник има само теоремата за сбор от срещуположни ъгли.
Има още няколко НДУ. Ще ти ги кажа. Следи чертежа.
Един четириъгълник е вписан тогава и само тогава, когато:
1)[tex]\angle A+\angle C=180^\circ[/tex]
2)Страна в четириъгълника от другите два върха се вижда под един и същи ъгъл. Примерно:
[tex]\angle ADB=\angle ACB[/tex]
3)[tex]AP.PC=BP.PD[/tex](свойство на пресичащи се хорди)
4)Ако продължим две от страните му до пресичането им, е в сила [tex]QB.QA=QC.QD[/tex](свойство на секущи)
5) [tex]AC.BD=AB.CD+BC.AD[/tex](Теорема на Птолемей)

[kickboxer]

Добре,щом тогава имаме една от тези теореми изпълнена = > че даденият четириъгълник е вписан в окръжност.И аз вече мога да си ползвам и другите зависимости,нали така ? Примерно ми дават че А + С = 180 градуса,аз като направя извода,че се вписва в окръжност,после вече си ползвам и другите теореми,ако са ми необходими,нали така ?

[ganka simeonova]

Добре,щом тогава имаме една от тези теореми изпълнена = > че даденият четириъгълник е вписан в окръжност.И аз вече мога да си ползвам и другите зависимости,нали така ? Примерно ми дават че А + С = 180 градуса,аз като направя извода,че се вписва в окръжност,после вече си ползвам и другите теореми,ако са ми необходими,нали така ?

Точно така

[Гост]

може ли решението

[Евва]

Тази задача е в темата "синусова теорема" и е от групата на най-трудните в моя сборник .
Не зная оригиналното решение .
Аз доказах ,че [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QBP по 2 признак .

[ptj]

От подобието:
[tex]BP:BA=BQ:BC= \sqrt{ \frac{6}{54} }=1:3[/tex]
сл. [tex]cos \beta= \frac{1}{3} \Rightarrow sin \beta = \frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex] (от правоъгълния [tex]\triangle BPA[/tex])

[tex]R= \frac{AC}{2sin \beta } = \frac{3PQ}{2 \frac{2 \sqrt{2} }{3} } = \frac{9.6 \sqrt{2} }{4 \sqrt{2} }= \frac{27}{2}=13.5[/tex]

Колкото до самото подобие:
[tex]\angle APQ=\angle ACQ=90 ^\circ- \alpha \Rightarrow \angle BPQ=180 ^\circ -90 ^\circ -(90 ^\circ- \alpha )= \alpha[/tex]

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]QBC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABP (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{QB}{BP}[/tex]=[tex]\frac{BC}{AB}[/tex] ;QB.AB=BP.BC ;AB=[tex]\frac{BP.BC}{QB}[/tex] ; [tex]\frac{AB}{BP}[/tex]=[tex]\frac{BC}{QB}[/tex]

1.[tex]\frac{AB}{BP}[/tex]=[tex]\frac{BC}{QB}[/tex] и 2.[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]QBP [tex]\Rightarrow[/tex]

по 2 признак [tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QBP .