квадрат

[lili91]

АВCD e квадрат с лице S , a точките М , N, P и Q са средите на страните му . Лицето на защрихованата фигура се изразява чрез S по следния начин

[martin123456]

тъй като APD е еднакъв с DNC, ако означим ъгъл DAP=x, то от ъгъл ADP=90 => ъгъл APD=90-x и от еднаквостта следва ъгъл NDC=x => ъгълът между DN и AP е прав. аналогично за другите ъгли.
лицето което ни интересува е S-(S(ADP)-S(MCB))-2четириъгълника дето остават = S-2S(ADP)-2(S(ADP)-2лицето на един малък квадрат))=S-4S(ADP)+4(лице малук триъг).
ясно че S(ADP)=S(ACD)/2=S/4.
значи лицето дето търсим е 4*лицето на малкия триъг
нека AP пресича BQ =O1, DN пресича AP=O2. лесно от ъглите следва QB||DN. значи QO1 е ср отсечка в DAO2. => S(QO1A)=S(AO2Q)/2=S(AO2D)/4. значи в крайна сметка търсеното лице е S(AO2D). Нека AO1=a. AP||CM=> O2P=a/2. => S(AO2D)=(4/5)S(ADP)=(4/5)(S/4)=S/5