Радиуси на окръжности в триъгълник

[Алет]

Здравейте. Имам въпрос за решението на задачиа - уловката е, че трябва да е само с 8-класен материал:

Имаме триъгълник ABC и три спуснат височини, пресичащи се в ортоцентър H. Триъгълникът е остроъгълен и разностранен. Докажете, че радиусът R на ABH = R на BCH = R на ACH = R на АBC.

/знам, че задачата може да се реши със синусовата теорема, но ми трябва решение с материал за осмокласници. благодаря предварително./

[atnast]

Използва се факта, че образа на ортоцентъра при осева симетрия с ос някоя от страните на АВС е точка от описаната около АВС окръжност. Нека Q e симетричната на Н спрямо правата АВ например. Тогава ▲ABH е еднакъв на ▲ABQ. Следователно са еднакви съответните им елементи, т.е. R на ▲ABH = R на ▲ ABQ. Понеже Q лежи на описаната около ▲АВС окръжност, то R на ▲ ABQ = R на ▲ ABC. Следователно R на ▲ABH = R на ▲ ABС. Аналогично се доказва и за другите два радиуса.