Интересна задача с ромб

[semisemi]

Ще се радвам, ако бихте ми помогнали с решението на следната задача:
В ромб със страна а и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] е вписана окръжност. Намерете лицето на четириъгълника, чиито върхове са допирните точки на окръжността със страните на ромба.
П.С. Намерих, че полученият четириъгълник е правоъгълник и изразих двете неравни страни чрез косинусовата теорема, но не мога да получа отговора: [tex]\frac{1}{2}[/tex]а[tex]^2[/tex].sin[tex]^3[/tex][tex]\alpha[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Нека [tex]OM[/tex] и [tex]ON[/tex] са равни на [tex]r[/tex] като [tex]O[/tex]-център на вписаната [tex]K[/tex],а [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са [tex]\in[/tex] съответно [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex]
[tex]OMNB[/tex]-вписан [tex]4\angle[/tex] т.е.[tex]\angle MON = 180^\circ - \angle NBM[/tex]
Но [tex]\angle NBM=180-x ===> \angle MON=x[/tex]
[tex]cos T[/tex] за [tex]\Delta MON :[/tex]
[tex]MN^2=2r^2-2r^2.cosx=2r^2(1-cosx) ==> MN=\sqrt{2r^2(1-cosx)}[/tex]

аналогично [tex]cos T[/tex] за [tex]\Delta POM (PO=r)[/tex]

[tex]MP^2=2r^2(1+cosx) ===> MP=\sqrt{2r^2(1+cosx)}[/tex]

[tex]S[/tex] на този четириъгълник,чието лице търсиш [tex]= MP.MN=\sqrt{2r^2(1+cosx)2r^2(1-cosx)}=2r^2\sqrt{1-cos^2x}=2r^2.sinx[/tex]

но [tex]r =\frac{h}{ 2}[/tex] ([tex]h[/tex]-височина на ромба)
но [tex]h=a.sinx ==> r=\frac{a.sinx}{ 2}[/tex]

[tex]S=\frac{2.a^2.sin^2x.sinx}{ 4}=\frac{a^2.sin^3x}{ 2}[/tex]

а относно четириъгълника можеш да докажеш,че е право [tex]\angle[/tex],тъй като е вписан в окръжността и е успоредник(успоредник е защото срещуложните страни са равни,което можеш да докажеш с еднакви триъгълници)

[semisemi]

Благодаря за решението =))

[Mr.G{}{}Fy]

За нищо