Геометрия-ПЛС помощ

[bobi]

Здравеите, имам проблем със една задача от 8 клас геометрия с окръжности Дадено е само че CH е височина CM е медиана и ъгъл ACH =ъгъл MCB да се докаже че Триъгълник ABC е правоъгален (при Ц)
Сори ама картинката е малко голяма чертежа си продалжава и точката която не се вижда е Б

[ganka simeonova]

Симпатична задачка:)
Нека допуснем, че АВ не е диаметър, а хорда.
Продължаваме диаметъра през С и височината през С докато пресекат описаната окръжност съответно в точките Р и Q=>
[tex]\angle CQP=90^\circ =>AB||QP=>AQPB-[/tex]трапец и понеже е вписан=>равнобедрен=>
[tex]AQ=BP=>[/tex]съответните дъги са равни=>[tex]\angle ACQ=\angle BCP=\angle BCM=>CP\equiv CM[/tex]
Тогава диаметърът СР минава през средата М на хордата АВ=>
[tex]CP\bot AB=>\angle CMA=90^\circ[/tex], но [tex]\angle CHA=90^\circ =>[/tex]от т.С съществуват два различни перпендукуляра към АВ, което е невъзможно.Това означава, че АВ е диаметър.

[inveidar]

Симпатична задачка и доста познато решение . Да измислим нещо по-различно:

sd.JPG (15.32 KiB) Прегледано 1384 пъти

Ясно е, че М и Н трябва да са различни точки, защото в противен случай триъгълникът АВС е равнобедрен и не е задължително да е правоъгълен. Да допуснем, както в предишното решение, че ъгълът при върха С не е прав, а да речем - остър. Тогава спускаме перпендикулярът от В към страната АС. Това е отсечката [tex]BC_{1}[/tex]. Спускаме и перпендикуляр от [tex]C_{1}[/tex] към АВ. Нека това е отсечката [tex]C_{1}T[/tex]. Тъй като [tex]\angle AC_{1}T=\angle ACH[/tex] като съответни, а [tex]\angle AC_{1}T=\angle MC_{1}B[/tex](от правоъгълния триъгълник [tex]ABC_{1}[/tex] медианата е равна на половината от хипотенузата, т.е [tex]\angle MC_{1}B=\angle MBC_{1}=\angle AC_{1}T[/tex]), то всички означени със зелено ъгли на чертежа са равни. Това пък означава, че четириъгълникът [tex]MBCC_{1}[/tex] е вписан(отсечката МВ се вижда от С и [tex]C_{1}[/tex] под един и същи ъгъл) и следоввателно [tex]\angle CMB=\angle CC_{1}B=90^{0}[/tex], което означава, че СМ е височина в АВС, т.е М съвпада с Н. Последното, както отбелязахме в началото, не е вярно. Това означава, че допускането ни за остротата на ъгъла при върха С не е вярно. Пак така доказваме, че той не може и да е тъп. С това задачата е решена.

[pipi langstrump]

Ето още едно решение. Дано чертежа да е достатъчен.

[inveidar]

Не е!