Две задачи за окръжност и отсечки

[baroveca]

1. Дадена е окръжност с център О и диаметър АВ и т.М върху него. Хордата CD е успоредна на АВ. Да се докаже,че сборът от квадратите на разстоянията от С и D до М не зависи от избора на хордата CD.

2.Дадени са 5 отсечки такива,че с всеки 3 от тях може да се построи триъгълник. Да се докаже,че поне един от тези триъгълници е остроъгълен.
За първата и идея си нямам...както и за втората... помагайте ))

[ganka simeonova]

Следи означенията на чертежа.
Прилагаме кос.т-ми за:
[tex]\Delta ADN: x^2=a^2+AN^2-2aANcos\alpha ; \Delta CNB: y^2=a^2+NB^2-2aNBcos\alpha[/tex]

Събираме двете равенства=>[tex]x^2+y^2=2a^2+AN^2+BN^2-2a.2R.cos\alpha[/tex](1)
[tex]\Delta AHD:cos\alpha =\frac{AH}{AD } =\frac{AH}{a} =>x^2+y^2=2a^2+AN^2+BN^2-2a.2R.\frac{AH}{ a}[/tex](2)

Прилагаме метрична зависимост за правоъгълния [tex]\Delta ADB=>AD^2=AH.AB=>a^2=AH.2R=>[/tex]
[tex]x^2+y^2=2a^2+AN^2+BN^2-2a^2=AN^2+BN^2[/tex]

Това означава, че сумата от квадратите зависи само от избора на т.N в/у АВ.

[baroveca]

Благодаря, г-жо Ангел- спасител

[ganka simeonova]

Първо ще докажем един известен факт, а именно, че ако а,b, с, са страни в триъгълник, то
[tex]c^2<2a^2+2b^2[/tex]
[tex]c<a+b=>c^2<a^2+b^2+2ab\le a^2+b^2+a^2+b^2=>c^2<2a^2+2b^2[/tex](*)

Да наредим отсечките по големина: [tex]a_5\ge a_4\ge a_3\ge a_2\ge a_1[/tex]
С пет такива отсечки могат да се образуват 10 триъгълника. Ще ги наредим по групи в колонки, като във всяка група най-лявата отсечка е и най-голяма.

[tex]a_5;a_4;a_3[/tex]......................... [tex]a_4;a_3;a_2[/tex]....................... [tex]a_3;a_2;a_1[/tex]..(3)
[tex]a_5;a_4;a_2[/tex]......................... [tex]a_4;a_3;a_1[/tex].......................
[tex]a_5;a_4;a_1[/tex]..........(1)........... [tex]a_4;a_2;a_1[/tex].........(2)............
[tex]a_5;a_3;a_2[/tex].........................
[tex]a_5;a_3;a_1[/tex].........................
[tex]a_5;a_2;a_1[/tex].........................
Да допуснем, че всички триъгълници са тъпоъгълни или правоъгълни. Тогава за всеки такъв триъгълник квадрата на най- голямата страна ще е по-голям или равен от сбора от квадратите на двете по- малки. Прилагаме това неравенство за всички триъгълници от съответните групи и ги сумираме по колонки.


(1)[tex]5a_5^2\ge 3a_4^2+3a_3^2+3a_2^2+3a_1^2[/tex]
(2)[tex]3a_4^2\ge 2a_3^2+2a_2^2+2a_1^2[/tex]
(3)[tex]a_3^2\ge a_1^2+a_2^2[/tex]

От (1), (2), (3) получаваме неравенството [tex]a_5^2\ge 2a_1^2+2a_2^2[/tex],което е противоречие със (*)=>допускането, че всички триъгълници са правоъгълни или тъпоъгълни е грешно.