Още една задачка...

[baroveca]

Нека О е такава вътрешна точка за триъгълник АВС, че [tex]\angle OAB=\angle OBC=\angle OCA=\varphi[/tex]Да се докаже,че [tex]cotg\varphi =cotg\alpha +cotg\beta +cotg\gamma =\frac{a^2+b^2+c^2}{2S }[/tex]

[ganka simeonova]

Хубава задача, но имаш грешка в условието, Не е 2S, a 4S

[ganka simeonova]

Задачата е чисто тригонометрична. Трябва само да докажем, че
[tex]ctg\varphi=ctg\alpha +ctg\beta +ctg\gamma[/tex]
Останалото си следва автоматично от котангенсовата теорема, приложена за ъглите на АВС
Прилагаме две син-тми за АОС и АОВ

[tex]AO=\frac{bsin\varphi }{ sin\alpha } ; AO=\frac{csin(\beta-\varphi ) }{ sin\beta }[/tex]

Приравянваме, лека заигравка с тригонометрията и получаваме

[tex]ctg\varphi =\frac{sin\beta }{ sin\alpha sin\gamma } +ctg\beta =\frac{sin(\alpha +\gamma) }{ sin\alpha sin\gamma } +ctg\beta =ctg\alpha +ctg\beta +ctg\gamma[/tex]