В окръжност с радиус R е вписан трапец.Центърът й дели височ

[dannk]

В окръжност с радиус R е вписан трапец.Центърът й дели височината му в отношение m:n.Да се намери лицето на трапеца, ако височината и средната му отсечка са равни.

[vel.angelov]

Нека вписаният трапец е [tex]ABCD[/tex] и нека [tex]CC_{1}[/tex]е височина на трапеца от т[tex]C[/tex].Забелязваме че [tex]AC=CC_{1}=\frac{a+b}{2 }[/tex]
[tex]\angle BAC=45^\circ[/tex] и от синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] получаваме:[tex]BC=\sqrt{2}R[/tex]
Тогава за [tex]\Delta BCC_{1}[/tex] от питагорова теорема получаваме:[tex]\frac{a^{2}}{ 4} +\frac{b^{2}}{ 4} =R^{2}[/tex]
Нека т О -център на описаната окръжност и нека височината която минава през нея е [tex]MN( M\in AB,N\in CD )[/tex]
От условието имаме[tex]\frac{OM}{ON } =\frac{m}{ n}[/tex] ,от където [tex]OM=\frac{m(a+b)}{ 2(m+n)}[/tex] и [tex]ON=\frac{n(a+b)}{ 2(m+n)}[/tex].Прилагаме питагорова терема за [tex]\Delta AMO[/tex] и [tex]\Delta DON[/tex] и след събиране получаваме:
[tex]\frac{n^{2}+m^{2}}{ (m+n)^{2}}( \frac{a+b}{ 2})^{2}+\frac{a^{2}}{ 4} +\frac{b^{2}}{ 4} =2R^{2}[/tex]
Забелязваме че [tex]S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2 } =( \frac{a+b}{ 2})^{2}[/tex]
Тогава [tex]S_{ABCD}=\frac{R^{2}(m+n)^{2}}{m^{2}+n^{2} }[/tex]