Лесна и известна

[strangerforever]

Даден е квадрат ABCD. Да се намерят всички точки M от вътрешността му, такива че [tex]\angle AMB + \angle CMD = 180^\circ[/tex]

[alexander_ivanov]

Такъв ли е отг.:
озн. симетралата на [tex]DC[/tex] с [tex]s_1[/tex], а тази на [tex]BC[/tex] с [tex]s_2[/tex]=>[tex]M\in s_1[/tex] или [tex]M\in s_2[/tex],[tex]M\notin AB,BC,CD,DA[/tex]

[strangerforever]

Такъв ли е отг.:
озн. симетралата на [tex]DC[/tex] с [tex]s_1[/tex], а тази на [tex]BC[/tex] с [tex]s_2[/tex]=>[tex]M\in s_1[/tex] или [tex]M\in s_2[/tex],[tex]M\notin AB,BC,CD,DA[/tex]

Не. От двете симетрали, единствената точка, която отговаря на условията (по мои сметки) е пресечната им точка. Може и аз да греша, затова дай доказателство за твърдението си.

[Mr.G{}{}Fy]

А всяка една точка от диагоналите не изпълнява ли това условие? Може и да се бъркам просто вчера като постна задачата и я видях и според мен отговорът би трябвало да е всяка точка лежаща на един от диагоналите ... и за симетралите мислех да проверя но ме мързеше ...Друг е въпроса как ще се докаже,че определените точки(който там е отговорът) са единствени ...

[strangerforever]

А всяка една точка от диагоналите не изпълнява ли това условие? Може и да се бъркам просто вчера като постна задачата и я видях и според мен отговорът би трябвало да е всяка точка лежаща на един от диагоналите ... и за симетралите мислех да проверя но ме мързеше ...Друг е въпроса как ще се докаже,че определените точки(който там е отговорът) са единствени ...

Опитай се да го докажеш.

[Mr.G{}{}Fy]

Кое? Единствеността или това,че ако лежи на диагонала... дрън дрън?Ако е това за диагонала май с два еднакви триъгълника по 2 страни и ъгъл между тях беше.Ще я видя довечера пак,ако мога да докарам още нещо

[strangerforever]

Кое? Единствеността или това,че ако лежи на диагонала... дрън дрън?Ако е това за диагонала май с два еднакви триъгълника по 2 страни и ъгъл между тях беше.Ще я видя довечера пак,ако мога да докарам още нещо

Това се доказва елементарно. Докажи, че не съществуват други такива.

[alexander_ivanov]

прав си
док.:
лесно се док. когато М е среда на диагоналите, но когато мърдаме М от тази позиция ъглите AMB и DMC видимо намаляват или се увеличават, това също лесно се доказва=> и сборът на тези два ъгъла ще намалее/увеличи=> единствено решение е М среда на диагоналите в квадрата

[strangerforever]

прав си
док.:
лесно се док. когато М е среда на диагоналите, но когато мърдаме М от тази позиция ъглите AMB и DMC видимо намаляват или се увеличават, това също лесно се доказва=> и сборът на тези два ъгъла ще намалее=> единствено решение е М среда на диагоналите в квадрата

Нека точка M е върху диагонала AC (не задължително прес. точка на диагоналите). Тогава AMB и AMD са еднакви очевидно (2 страни и ъгъл), тогава AMB = DMA. Обаче DMC = 180 - DMA = 180 - AMB. Дали пък няма още такива точки? :Р

[Mr.G{}{}Fy]

Дали пък няма още такива точки? :Р

Не ... знам Знаеш ли решението? Ако не айде някой да вкара едно рамо

[inveidar]

zad2.JPG (21.46 KiB) Прегледано 408 пъти

Да допуснем, че има точка [tex]M[/tex], която изпълнява условията на задачата, но не лежи на диагоналите и е разположена, да речем, в [tex]ACD[/tex]. Да опишем окръжностите около триъгълниците [tex]ABM[/tex] и [tex]CDM[/tex]. От Синусовата теорема е ясно, че те са еднакви и имат обща хорда [tex]MK[/tex](докажете последното). При това общата хорда е успоредна на [tex]AB[/tex], центровете на двете окръжности лежат на симетралата на [tex]AB[/tex] и следователно [tex]K[/tex] е разположена в триъгълника [tex]BCD[/tex](симетрична е на [tex]M[/tex] относно симетралата на [tex]AB[/tex]).Нека [tex]AC[/tex] пресича едната окръжност както е на чертежа в точка [tex]N[/tex]. При това, от допускането, [tex]N[/tex] е различна от [tex]M[/tex] и [tex]K[/tex]. Е, да, но за [tex]N[/tex], както се видя от горните постове, е изпълнено условието на задачата, откъдето следва, че [tex]N[/tex] съвпада с [tex]M[/tex] или [tex]K[/tex](Защо?!). Противоречие с избраното положение на [tex]M[/tex]! Аналогична се достига до противоречие и ако [tex]M[/tex] е разположена в триъгълника [tex]ABC[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Браво,Инвейдър.Само на едното място където си писал: "докажете последното" ... кое трябва да докажем,че имат обща хорда ?

[inveidar]

Да, уе! Демек, че не се допират! Просто е, но трябва да се докаже. Така мисуим.

[ptj]

Построяваме [tex]\Delta DCM_1 = \Delta ABM[/tex] (т.[tex]M[/tex] външна за чет. [tex]ABCD[/tex]). Четириъгълника [tex]MCDM_1[/tex] е вписан и с взаимно перпендикулярни и равни диагонали. Това е изпълнено когато едната двойка срещуположни дъги са равни, а другите се допълват до 180°. Т.е. т.М лежи на единия от диагоналите на квадрата.


П.П. Сега се сетих, че чертежа ми е познат от ученическите години.

[ptj]

Построяваме [tex]\Delta DCM_1 = \Delta ABM[/tex] (т.[tex]M[/tex] външна за чет. [tex]ABCD[/tex]). Четириъгълника [tex]MCDM_1[/tex] е вписан и с взаимно перпендикулярни и равни диагонали. Това е изпълнено когато едната двойка срещуположни дъги са равни, а другите се допълват до 180°. Т.е. т.М лежи на единия от диагоналите на квадрата.


П.П. Сега се сетих, че чертежа ми е познат от ученическите години.

Не е вярно, правилно е :

Построяваме [tex]\Delta DCM_1 = \Delta ABM[/tex] (т.[tex]M[/tex] външна за чет. [tex]ABCD[/tex]). Четириъгълника [tex]MCDM_1[/tex] е вписан и с взаимно перпендикулярни (прекарайте през т.[tex]M[/tex] успоредна на [tex]BC)[/tex] и равни диагонали.
Това е изпълнено когато [tex]\overset{\frown} {CM}=x;\overset{\frown} {DM_1}=180^\circ -x;\overset{\frown} {CM_1}=y;\overset{\frown} {DM}=180^\circ-y[/tex].
Знаейки , че равни хорди [tex](MM_1=DC)[/tex] отсичат равни дъги получаваме:
[tex]x+y=(180^\circ -x)+y[/tex] или [tex]x+y=(180^\circ -y)+x[/tex].
И двата случая водят до [tex]x=y=90^\circ[/tex], сл. чет. [tex]MCM_1D[/tex]e квадрат <=> {т.[tex]M[/tex]}[tex]=AC\cap BD[/tex].

[inveidar]

zad3.png (42.17 KiB) Прегледано 370 пъти

Ето и така става! Триъгълникът [tex]ABM[/tex] е еднакъв на [tex]ABM_{1}[/tex]. После от чертежа лесно се вижда противоречието, ако М не лежи на АС.

[Mr.G{}{}Fy]

Утре трябва и ptj-вото решение да разгледам Дай боже да го разбера Ауе Инви в твойто доказателство каква роля играй успоредността на общата хорда ? Или просто за протокола
Между другото е хубаво,че излязоха няколко решения Браво на авторите им.

[inveidar]

За протокола!!!