Да се намери AC+BC/AB в триъгълника ABC. Ако медицентърът...

[strangerforever]

Вписаната окръжност в [tex]\Delta ABC[/tex] се допира до AC и BC в P и T съответно. Ако медицентърът на триъгълника лежи върху отсечката PT, да се намери [tex]\frac{AC + BC}{AB}[/tex]

[Xixibg]

[tex]\frac{4}{3}[/tex]

[strangerforever]

[tex]\frac{4}{3}[/tex]

Не е толкова отговорът, но може и да имаш само техническа грешка, дай решение.

[ganka simeonova]

Отг. 3 Сега излизам, но по-късно ще напиша решение. Сладка задача Това е, в случай, когато АВС не е равнобедрен. Ако е равнобедрен, отношението е друго, но задачата става тривиална.

[Xixibg]

Да отговора е [tex]\frac{AC+BC}{AB}=3[/tex] просто бях обърнал едно отношение:
Сега ще напиша решение....

[Xixibg]

Ето решение...
Нека [tex]G[/tex] е медицентъра и нека [tex]P\in AC ; T \in BC ; M=CG\cap AB ; =>AM=BM=\frac{1}{2}AB[/tex]
Построяваме [tex]BB_2||PT ,B_2= AC\cap BB_2 ; AA_2||PT ,A_2= BC\cap AA_2[/tex]
През [tex]M[/tex] Построяваме [tex]A_1B_1||PT[/tex]
[tex]\triangle AMB_1 \approx \triangle ABB_2 ; =>\frac{AB_1}{AB_2}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2} ; =>AB_1=B_1B_2=\frac{1}{2}AB_2[/tex]
[tex]\triangle PTC[/tex] е равнобедрен [tex]=>\triangle AA_2C, \triangle A_1B_1C,\triangle BB_2C[/tex] също са равнобедрени [tex]=>B_2C=BC ; A_2C=AC[/tex]
[tex]=>AB_1=\frac{1}{2}AB_2=\frac{1}{2}(AC-CB_2)=\frac{1}{2}(AC-BC)[/tex]
[tex]\triangle A_1MB \approx \triangle ABA_2 ; =>\frac{A_B}{A_2B}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2} ; =>A_1B=A_1A_2=\frac{1}{2}A_2B[/tex]
[tex]=>A_1B=\frac{1}{2}A_2B=\frac{1}{2}(A_2C-CB)=\frac{1}{2}(AC-BC)[/tex]
[tex]B_1C=A_1C=AC-\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}(AC+BC)[/tex]
[tex]\triangle PGC \approx \triangle B_1MC[/tex]
[tex]=>\frac{PC}{B_1C}=\frac{CG}{CM}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]PC=\frac{AC+BC-AB}{2} ; =>\frac{PC}{B_1C}=\frac{AC+BC-AB}{2}.\frac{2}{AC+BC}=\frac{AC+BC-AB}{AC+BC}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]=>2(AC+BC)=3(AC+BC)-3AB ; =>AC+BC=3AB ; =>\frac{AC+BC}{AB}=3[/tex]

[ganka simeonova]

Нека пресича РТ в т.Х и нека вписаната окр пресича АВ в т.D. Ще док, че X, I, D лежат на една права. ( това е един хубав факт).
Построяваме[tex]AB||A_1B_1=>A_1X=B_1X[/tex]
[tex]\Delta A_1XP=\frac{PX}{ sin\angle PA_1X } =\frac{A_1X}{ sinAPX} =>PX=\frac{A_1X.sin\alpha }{ cos{\frac{\gamma }{ 2}} }[/tex]

[tex]\Delta XB_1T=>XT=\frac{B_1X.sin\beta }{ cos{\frac{\gamma }{ 2}} }[/tex]=>[tex]\frac{PX}{ XT} =\frac{a}{b }[/tex](*)

Нека ID пресича PT в т.Y=>
[tex]\frac{PY}{YT } =\frac{PY}{IY } .\frac{IY}{YT } =\frac{sin\alpha }{ sin{\frac{\gamma }{2} } } .\frac{ sin{\frac{\gamma }{2} } }{ sin\beta }=\frac{a}{ b}[/tex](**)

(*)+(**)=>[tex]X\equiv Y[/tex]
Сега вече ще ползваме, че Х е медицентър.
[tex]\Delta C_1DX\approx \Delta C_1HC=>C_1H=3C_1D=>AH-AC_1=3(AD-AC_1)=>....[/tex]

[tex]b^2-a^2=3c(b-a)=>[/tex]
1)[tex]b=a[/tex]=>равнобедрен
2)[tex]b+a=3c=>\frac{b+a}{ c} =3[/tex]

[Xixibg]

..............................................................................................................
1)[tex]b=a[/tex]=>равнобедрен=>Х лежи и на вписаната окръжност и тогава отношението е 5.
...................................[/tex]

Това не е вярно.Отношението е 3 и при равнобедрен [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]AC=BC=a ; AB=c ;MA=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}c ; G\in PT[/tex] медицентър
[tex]CP=CT=p-c[/tex]
[tex]\frac{CP}{AC}=\frac{CG}{GM}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]=>\frac{\frac{2a-c}{2}}{a}=\frac{2a-c}{2a}=\frac{2}{3} ; =>6a-3c=4a =>\frac{2a}{c}=3[/tex]

[ganka simeonova]

..............................................................................................................
1)[tex]b=a[/tex]=>равнобедрен=>Х лежи и на вписаната окръжност и тогава отношението е 5.
...................................[/tex]

Това не е вярно.Отношението е 3 и при равнобедрен [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]AC=BC=a ; AB=c ;MA=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}c ; G\in PT[/tex] медицентър
[tex]CP=CT=p-c[/tex]
[tex]\frac{CP}{AC}=\frac{CG}{GM}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]=>\frac{\frac{2a-c}{2}}{a}=\frac{2a-c}{2a}=\frac{2}{3} ; =>6a-3c=4a =>\frac{2a}{c}=3[/tex]

Прав си. Знаеш ли, за какво си помислих? Че тогава Х лежи и на вписаната окр., което не е вярно. Да, остава за всички случаи 3

[Xixibg]

.......................................................
Сега вече ще ползваме, че Х е медицентър.
[tex]\Delta C_1DX\approx \Delta C_1HC=>C_1H=3C_1D=>AH-AC_1=3(AD-AC_1)=>....[/tex]

[tex]b^2-a^2=3c(b-a)=>[/tex]
.....................................................

Гледам решението.Точка [tex]H[/tex] е пета на перпендикуляра от [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] ; [tex]AC=b ;BC=a ; AB=c[/tex]
Как получи от това [tex]AH-AC_1=3(AD-AC_1)=>....[/tex] това [tex]b^2-a^2=3c(b-a)[/tex] т.е. какво има на мястото на точките.

[ganka simeonova]

Преобразувания, които се полуичават след като изразим отсечките чрез страните на триъгълника.

[strangerforever]

.......................................................
Сега вече ще ползваме, че Х е медицентър.
[tex]\Delta C_1DX\approx \Delta C_1HC=>C_1H=3C_1D=>AH-AC_1=3(AD-AC_1)=>....[/tex]

[tex]b^2-a^2=3c(b-a)=>[/tex]
.....................................................

Гледам решението.Точка [tex]H[/tex] е пета на перпендикуляра от [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] ; [tex]AC=b ;BC=a ; AB=c[/tex]
Как получи от това [tex]AH-AC_1=3(AD-AC_1)=>....[/tex] това [tex]b^2-a^2=3c(b-a)[/tex] т.е. какво има на мястото на точките.

[tex]AH = cos\alpha.b = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.b = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}[/tex]

[tex]AC_1 = \frac{c}{2}[/tex]

[tex]AD = \frac{b + c - a}{2}[/tex]

Тогава:

[tex]AH - AC_1 = 3(AD - AC_1) \Leftrightarrow \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} - \frac{c}{2} = 3(\frac{b + c - a}{2} - \frac{c}{2}) \Leftrightarrow \frac{b^2 - a^2}{2c} = 3\frac{b-a}{2} \Leftrightarrow b^2 - a^2 = 3c(b-a)[/tex]

[ganka simeonova]

Точно така

[Xixibg]

Готина задачка. Готино решение.Като гледам "......." означава половината решение на задачата.Решението обаче е достъпно само за 10 -клас или по-големи , като се има в предвид че изисква Синусова и Косинусова теорема и основи на тригонометрията.
Това което представих е чисто планиметрично и е допустимо за по-малки ученици.
Всъщност тази задача от къде е и за кои ученици е предназначена?

Аз искам да попитам какъв софтуер ползвате за чертежи , защото аз пиша геометрични задачи без чертеж а това е малко тъпо....

[ganka simeonova]

Тази задача, но само в частта и за доказателството, че трите точки лежат на една права, решавах с дъщеря си, докато тази година се готвеше за конкурсен изпит за СУ. Условието ми беше дадено от един бивш член на форума. Затова и предложих решение с тригонометрия. Иначе аз чертая с CaRMetal.
http://carmetal.en.uptodown.com/
Можеш да си я свалиш от тук, но трябва да имаш инсталирана Java. Наистина е хубаво да прикрепваш чертежи