Пресечна точка на медиани

[koncara]

В равнобедрения триъгълник АВС с основа АВ отсечките АМ и BN са медиани. Ако АМ и BN се пресичат в точка О, докажете, че АО=ВО и ОМ=ON.

[alexander_ivanov]

Построяваме [tex]CO => CO \cap AB = P => AP=BP & CP \perp AB[/tex]
[tex]=> OP[/tex] симетрала на [tex]AB[/tex] => [tex]AOB[/tex]- равнобеден - [tex]AO=BO[/tex]
от [tex]ABNM[/tex] равнобедрен трапец => [tex]AM=BN=> AM-AO=BN-AO, AM-AO=BN-BO => OM=ON[/tex]

[koncara]

Не може ли по дру начин. Примерно CP да бъде ъглополовяща. След, което ще докажем, че триъг. СОP еднакъв с COM. И така ще разгледам триъг. АОВ и ще докажем това, което се търси.

[alexander_ivanov]

не съм пробвал, предложих ти едно решение. всяка задача може да се реши по няколко начина (особено геометричните)

[koncara]

От това, че триъгълника е равнобедрен от върха С като се спусне права, може да допринесе много опции за решение. Този твой вариант е много добър, за което ти благодаря.

[koncara]

Моето решение е следното
Нека CH - ъглополовяща на \angle АСН (т.О лежи на СН)
Разглеждаме \Delta АНС и \Delta ВНС
По първи признак те са еднакви. \Leftrightarrow АН=ВН
От \Delta АНС \cong \Delta ВНС имаме \angle АНС=\angle ВНС=90^\circ (съседни)
\Leftrightarrow СН-височина в \Delta АВС
Разгледждаме \Delta АНО и \Delta ВНО
По първи признак те са еднакви \Leftrightarrow АО=ВО
Разглеждаме \Delta CON и \Delta СОМ
Те са еднакви по първи признак \Leftrightarrow ОМ=ON

Според мен това е решението. Ако има нещо, което мислите, че не е така, моля изразете мнение.

[Xixibg]

Ето ви и най-лесното решение:
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен [tex]AC=BC[/tex]
[tex]\triangle ABM,\triangle ABN[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]1. AB[/tex]-обща
[tex]2.\angle ABM=\angle BAN[/tex]([tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен)
[tex]3.AN=BM=\frac{1}{2}AC[/tex]
[tex]=>\angle ABN=\angle BAM ; AM=BN[/tex] като СЕЕТ
[tex]=>\triangle ABO[/tex] е равнобедрен [tex]=>AO=BO[/tex]
[tex]=>MO=AM-AO=BN-BO=ON[/tex]

[koncara]

А моя вариант правилен ли е. В случая приемам, че СН е ъглополовяща на триъгълник АВС, но може ли да се приеме, че точка О лежи на СН. Правилно ли е да го твърдя?

[Xixibg]

Вярно е
Но трябва да се опитваш да решаваш задачите по най-лекият начин(с най-малко доказателства),защото ако ти дадат по-сериозна задача може да не ти стигне времето ,а и разглеждайки повече неща увеличаваш шанса за грешка

[ganka simeonova]

Вярно е
Но трябва да се опитваш да решаваш задачите по най-лекият начин(с най-малко доказателства),защото ако ти дадат по-сериозна задача може да не ти стигне времето ,а и разглеждайки повече неща увеличаваш шанса за грешка

Това става с течение на времето и много решени задачи:)

[Xixibg]

Като четеш условието помисли логично.
Какво трябва да докажем?.......".........докажете, че [tex]AO=BO[/tex]"
Къде участват търсените отсечки?.............отг.[tex]\triangle ABO,\triangle ACO,\triangle BCO[/tex]
1-во: Можем ли да докажем еднаквост на [tex]\triangle ACO,\triangle BCO[/tex] без допълнителни данни?..... отг. не(имаме само по 2 съответно равни страни)
2-ро: Разглеждаме [tex]\triangle ABO[/tex]
Какъв трябва да бъде този триъгълник?.............отг. Равнобедрен
Какво знаем за равнобедрени триъгълници?............отг. бедрата са равни и ъглите при основата са равни.
Къде участват ъглите [tex]\angle ABO \angle BAO[/tex]............отг.[tex]\triangle ABO,\triangle ABM,\triangle ABN[/tex]
Можем ли да докажем еднаквост на [tex]\triangle ABM,\triangle ABN[/tex] без допълнителни данни?.....отг. да

Доказваме го и задачата е решена.
Ето това е един план за решаване на подобна задача.Ако се научиш да мислиш по такъв начин ще ти стане много по-лесно

[Xixibg]

Госпожо Симеонова,
Дайте и Вие някои съвет

[ganka simeonova]

Госпожо Симеонова,
Дайте и Вие някои съвет

Хихи, малко спам... два дена оформям срочни оценки, разправям се като класен с родители, освен това тази вечер пуснах няколко поста, ... изтощена съм:) Повярвай:) Когато мога, ще пиша, но рецептата е яко решаване на задачи. Дори е хубаво и полезно, когато човек гледа решени вече задачи. Аз самата се уча от хубавите решения:)

[koncara]

Благодаря много за съветите. Със сигурност ще ми бъдат полезни. Но в моя случай искам нещата да бъдат ясно подредени и разбрани от моя страна. Затова предпочитам всичко да бъде изписано. И аз мога да реша задачата бързо и лесно само с разсъждения, но искам всичко да е изписано от-до. С две думи по дълго, но по - разбираемо.

[Xixibg]

Госпожо Симеонова,
Дайте и Вие някои съвет

Хихи, малко спам... два дена оформям срочни оценки, разправям се като класен с родители, освен това тази вечер пуснах няколко поста, ... изтощена съм:) Повярвай:) Когато мога, ще пиша, но рецептата е яко решаване на задачи. Дори е хубаво и полезно, когато човек гледа решени вече задачи. Аз самата се уча от хубавите решения:)

Съчувствам Ви ,но за съжаление не мога да помогна.
Това с решаването на задачи..........Да без решаване не става.Аз лично съм решил десетки хиляди задачи.
И за това ,че от прочитането на едно хубаво решение има смисъл също сте много права и подкрепям напълно.

[ganka simeonova]

Благодаря много за съветите. Със сигурност ще ми бъдат полезни. Но в моя случай искам нещата да бъдат ясно подредени и разбрани от моя страна. Затова предпочитам всичко да бъде изписано. И аз мога да реша задачата бързо и лесно само с разсъждения, но искам всичко да е изписано от-до. С две думи по дълго, но по - разбираемо.

Не винаги е необходимо задачата да се решава от..до...

[koncara]

Госпожо Симеонова,
Дайте и Вие някои съвет

Хихи, малко спам... два дена оформям срочни оценки, разправям се като класен с родители, освен това тази вечер пуснах няколко поста, ... изтощена съм:) Повярвай:) Когато мога, ще пиша, но рецептата е яко решаване на задачи. Дори е хубаво и полезно, когато човек гледа решени вече задачи. Аз самата се уча от хубавите решения:)

Ето госпожа Симеонова уцели десетката. Това имам впредвид. "Хубави решения". Ето затова вкъщи имам над 50 сборника, учебника и какви ли не помагала по матемтика от 7 до 12 клас и всеки ден, когато имам възможност сядам и решавам, и всичко искам да изпипам перфектно, за да бъде точно, ясно, подредено и най-вече разбираемо. Затова опитвам по-дълги решения и варианти, но всичко да бъде добре изглеждащо в тетрадката.

[ganka simeonova]

Ситуация:
В ъгъла на една стая гори купчина хартии, гори не много силно, но има реална опасност от голям пожар. Наблизо има чувал с пясък. Как действат различните хора:
Инженер-практик: Влиза в стаята, вижда огъня и засипва огъня с пясък.
Физик-теоретик: Влиза в стаята, вижда огъня, посипва с пясък около огъня и наблюдава явлението.
Математик: Влиза в стаята, вижда огъня, вижда чувала с пясък и след като осъзнава, че задачата има решение, губи интерес към нея и излиза от стаята.


Хубаво е, че искаш да изпипваш подробни решения, но в един момент, ще разбереш, че лично за теб няма да са ти нужни:)
Освен, ако не станеш учител:)))

[koncara]

Искам решенията ми да бъдат с точни факти и доказателства, не с догадки и предположения. Затова когато нещо не ми се връзва, връщам се отначало, пробвам пак и ако нещо не се получава или не ми е ясно, кое как става, питам тук добрите хора като вас, които дават от своите знания и умения и помагат.

[Xixibg]

Попитали англичанина , французина и математика какво предпочитат "жена или любовница"
Англичанинът...... Жената разбира се.
Французинът........Жената ми е омръзнала , искам любовница.
Математикът........И двете .....На жената казвам ,че съм при любовницата , на любовницата че съм при жената , а аз се скривам и решавам задачи

[ganka simeonova]

Искам решенията ми да бъдат с точни факти и доказателства, не с догадки и предположения. Затова когато нещо не ми се връзва, връщам се отначало, пробвам пак и ако нещо не се получава или не ми е ясно, кое как става, питам тук добрите хора като вас, които дават от своите знания и умения и помагат.

Ти си 7 клас, нали? Да, сега е времето, да се научиш да обясняваш и разписваш идеите си ясно и коректно. Но в един момент, многото подробности, дори и на изпит стават досадни..
Проверяващите не се нуждаят от "безкрайни" подробности..

[ganka simeonova]

Попитали англичанина , французина и математика какво предпочитат "жена или любовница"
Англичанинът...... Жената разбира се.
Французинът........Жената ми е омръзнала , искам любовница.
Математикът........И двете .....На жената казвам ,че съм при любовницата , на любовницата че съм при жената , а аз се скривам и решавам задачи

Слава богу, че у дома и аз, и половинката ми се занимаваме с наука и всеки си има своето поприще, та не се налага да се оправдаваме с "любовницата" ( любовника)

[Xixibg]

За всички ,на които им е интересна геометрията опитайте това:
viewtopic.php?f=60&t=8854

[koncara]

Моето решение е следното
Нека CH - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex] АСН (т.О лежи на СН)
Разглеждаме [tex]\Delta[/tex] АНС и [tex]\Delta[/tex] ВНС
По първи признак те са еднакви. [tex]\Leftrightarrow[/tex] АН=ВН
От [tex]\Delta[/tex] АНС еднакъв [tex]\Delta[/tex] ВНС имаме [tex]\angle[/tex] АНС=[tex]\angle[/tex] ВНС=90[tex]^\circ[/tex] (съседни)
[tex]\Leftrightarrow[/tex] СН-височина в [tex]\Delta[/tex] АВС
Разгледждаме [tex]\Delta[/tex] АНО и [tex]\Delta[/tex] ВНО
По първи признак те са еднакви [tex]\Leftrightarrow[/tex] АО=ВО
Разглеждаме [tex]\Delta[/tex] CON и [tex]\Delta[/tex] СОМ
Те са еднакви по първи признак [tex]\Leftrightarrow[/tex] ОМ=ON

Според мен това е решението. Ако има нещо, което мислите, че не е така, моля изразете мнение.