Няколко задачи

[Aneliya]

1. Да се докаже, че за всеки триъгълник ъглополовящата на вътрешния му ъгъл се намира между височината и медианата, излизащи от върха на същия ъгъл, ако другите му два ъгъла не са равни.

2. ABCD е успоредник. Точките M и N лежат съответно върху страните BC и АD, така че BM = DN. Точката P [tex]\in[/tex] DC. Правата MN пресича AP и PB съответно в точките К и L. Да се докаже, че [tex]S_{PKL} = S_{ANK} + S_{BML}[/tex]

3. ABCD е трапец (AB || CD, AB > CD). Точка M [tex]\in[/tex] AB, a точка N[tex]\in[/tex]. DM∩AN = P и BN ∩ MC = Q. Да се докаже, че [tex]S_{MNPQ} = S_{ADP} + S_{BCQ}[/tex]

4. Да се докаже, че ако в триъгълник височината и медианата през един от върховете му разделят ъгъла на триъгълника при този връх на три равни части, то триъгълникът е правоъгълен с ъгъл 30.

5. Намерете зависимостите между радиусите на вписаната и описаната окръжност за правилния десетоъгълник.

6. Дължините на страните на успоредника ABCD са АВ = а, ВС = b. Ъглополовящите на ъглите A и В са лъчите AE (E[tex]\in[/tex] DC и BF (F [tex]\in[/tex] DC, които се пресичат в точка М. Ъглополовящите на ъглите D и С се пресичат в точка Р. [tex]\vec{CP} \cap BF = Q[/tex] и [tex]\vec{DP} \cap AE = N[/tex]. Ако точка X лежи на отсечката AE, да се докаже, че XD < AD.

7. Дължините на основите на трапец ABCD са АВ = а, CD = b (a>b). Права l||AB пресича бедрата AD и BC съответно в точки М и N. Да се намери дължината на отсечката MN, ако l:
a) разделя бедрата така, че AM:MD = 3:5
б) минава през пресечната точка на диагоналите
в) разделя трапеца на две равнолицеви части.

[matdia]

7a)
Нека MN=x
От отношението по теоремата на Талес означаваме височините в трапеца с 8к, 3к и 5к
SABCD=SABNM+SMNCD
[tex]\frac{(a+b)}{2 }[/tex]8k=[tex]\frac{(a+x)}{2 }[/tex]3K+[tex]\frac{(x+b)}{2 }[/tex]5k
След умножаваме на равенството с [tex]\frac{2}{k}[/tex] опростяваме до
8(а+b)=3(а+х)+5(Х+b)
5а+3b=8Х

х=[tex]\frac{5a+3b}{8 }[/tex]