Подобие и Талес

[Aneliya]

1. Даден е правоъгълен трапец с основи a и b (a>b) и по-малко бедро c. Намерете разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до основата а и бедрото с.
2. В триъгълник АВС е вписан правоъгълник KLMN така, че точките K и N са от страната BC, а M и L съответно от АС и АВ. Докажете, че ако лицето на правоъгълника KLMN е най-голямо, то страната LM дели височината AA1 на АВС на две равни части.
3.Дадена е окръжност с център О и диаметър АВ = 2R. По допирателната към тази окръжност в точка А е нанесена отсечка АМ с дължина, по-голяма от R. През точка М е прекарана втора допирателна към окръжността, която пресича правата АВ в точка Р. Намерете страните на АМР, ако периметърът му е 8R.
4.В трапеца АВСD (AB||CD), AB>CD) ъглополовящата на ъгъл В е перпендикулярна на бедрото AD и го пресича в точка Е. Да се намери в какво отношение правата ВЕ дели лицето на трапеца, ако е известно, че АЕ = 2ED.
5. През произволна вътрешна точка О за даден триъгълник са построени три прави, успоредни на страните му. Те разделят вътрешността на триъгълника на шест части, три от които са триъгълници, ако:
а) лицата на тези триъгълници са S1, S2 и S3, намерете лицето S на дадения триъгълник
б) радиусите на описаните около тези тези триъгълници окръжности са R1, R2, R3, а R е радиусът на описаната около дадения триъгълник окръжност, докажете, че R = R1 + R2 + R3
6. Ъглополовящата на ъгъл А в АВС пресича страната ВС в точка D. През D е прекарана права, перпендикулярна на външната ъглополовяща на ъгъл В, и пресича правата АВ в точка М. Права през D, перпендикулярна на ъглополовящата на ъгъл АСВ, пресича страната АС в точка К. Да се намери дължината на отсечката АК, ако АМ = 16 и AD = 8.
7. За триъгълник PQR са построени ъглополовящата PL и медианата QM, които се пресичат в точка О. През О е построена права, успоредна на PR, която пресича страните PQ и RQ съответно в точките А и В. Намерете дължините на отсечките PQ и RQ, ако PR = 20, PA = 6, RB = 7.
8. За успоредника ABCD точките P и Q са съответно от страните DC и ВС и такива, че [tex]DP = \frac{2}{5 }PC[/tex] и [tex]BQ = \frac{2}{ 3}QC[/tex]. Ако AQ∩BP = M, то докажете, че [tex]MQ = \frac{2}{7}QA[/tex].