Интересна и лесна задача

[gredon]

Даден е произволен триъгълник ABC. Върху страните АС и ВС са построени квадратите ACSL и СВКР. Да се докаже, че медианата СМ на триъгълник СРS и височината СН в триъгълника АВС лежат на една права.

[gredon]

В четвъртък ще постна решението.

[mail_dinko]

123

1.png (44.18 KiB) Прегледано 484 пъти

Не мога да я реша, но ще постна чертеж за улеснение на решаващите

[ganka simeonova]

Сладка задача,която просто "плаче" за ротация
Построяваме медианата СМ, в [tex]\Delta KCF; CM\cap AB=H[/tex]
Да разгледаме ротация с център С и ъгъл +90. Тогава
[tex]\Delta KCF-> \Delta ACN; CM->CL=>\angle LCM=90^\circ[/tex]
[tex]NC=CF=CB; NL=LA=>LC[/tex] -средна отсечка [tex]\Delta ABN[/tex]=>
[tex]LC||AB=>LC||AH; LC\bot CM=>AH\bot CM[/tex]

п.с. На чертежа съм въвела собствени означения за някои точки, за което се извинявам.

[gredon]

Сладка задача,която просто "плаче" за ротация
Построяваме медианата СМ, в [tex]\Delta KCF; CM\cap AB=H[/tex]
Да разгледаме ротация с център С и ъгъл +90. Тогава
[tex]\Delta KCF-> \Delta ACN; CM->CL=>\angle LCM=90^\circ[/tex]
[tex]NC=CF=CB; NL=LA=>LC[/tex] -средна отсечка [tex]\Delta ABN[/tex]=>
[tex]LC||AB=>LC||AH; LC\bot CM=>AH\bot CM[/tex]

п.с. На чертежа съм въвела собствени означения за някои точки, за което се извинявам.

Супер решение . Задачата може да се реши и с вектори, но това отнема от красотата й безспорно .
Примерно:
Нека [tex]\angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]\vec{CM}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ([tex]\vec{CP} + \vec{CS}[/tex])
[tex]\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}[/tex]
като проверим [tex]\vec{CM}.\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{CP}.\vec{CB} - \vec{CP}.\vec{CA} - \vec{CS}.\vec{CB} - \vec{CS}.\vec{CA}) = 0 - ab.cos(90+\gamma ) + ab.cos(90+\gamma ) - 0 = 0[/tex], твърдението е доказано

[Xixibg]

Искате ли решение за 7-ми клас с еднакви триъгълници?
Задачата е известна.Когато бях 7 -ми клас преди двадесет и ...... години ми я даваха в школата по математика.Ако се замисли човек ще разбере че е лека и хубава задачка.

[ganka simeonova]

Пусни решението си Хихи:)

[Xixibg]

Нека [tex]H\in AB ; CH\bot AB[/tex] Нека [tex]CH\cap PS=M[/tex]
Построяваме [tex]PP_1\bot CM ; SS_1\bot CM, P_1,S_1\in[/tex] правата [tex]CM[/tex]
Нека [tex]\angle CBH=\beta ; =>\angle CAH=\angle HCB=90^\circ -\beta ; \angle ACH=\beta[/tex]
[tex]\triangle PP_1C,\triangle HBC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle PP_1C=\angle CHB=90^\circ ; 2.CP=CB ;3.\angle PCP_1=180^\circ -(90^\circ +90^\circ -\beta )=\beta =\angle HBC[/tex]
[tex]=>PP_1=CH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle SS_1C,\triangle HAC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle SS_1C=\angle CHA=90^\circ ; 2.CS=CA ;3.\angle SCS_1=180^\circ -(90^\circ +\beta )=90^\circ -\beta =\angle HAC[/tex]
[tex]=>SS_1=CH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle SS_1M,\triangle PP_1M[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle SS_1M=\angle PP_1M=90^\circ ; 2.SS_1=PP_1 ;3.\angle P_1MP=\angle S_1MS[/tex] (като връхни)
[tex]=>SM=PM[/tex] като СЕЕТ
[tex]=>CM[/tex] е медиана

Това е класическа задача за 7-ми клас с допълнително построение.Ще помоля само ако може някой да направи чертеж че аз така и не се научих да правя чертежи във форума.Предварително благодаря

[Mathemagician]

Нека [tex]H\in AB ; CH\bot AB[/tex] Нека [tex]CH\cap PS=M[/tex]
Построяваме [tex]PP_1\bot CM ; SS_1\bot CM, P_1,S_1\in[/tex] правата [tex]CM[/tex]
Нека [tex]\angle CBH=\beta ; =>\angle CAH=\angle HCB=90^\circ -\beta ; \angle ACH=\beta[/tex]
[tex]\triangle PP_1C,\triangle HBC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle PP_1C=\angle CHB=90^\circ ; 2.CP=CB ;3.\angle PCP_1=180^\circ -(90^\circ +90^\circ -\beta )=\beta =\angle HBC[/tex]
[tex]=>PP_1=CH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle SS_1C,\triangle HAC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle SS_1C=\angle CHA=90^\circ ; 2.CS=CA ;3.\angle SCS_1=180^\circ -(90^\circ +\beta )=90^\circ -\beta =\angle HAC[/tex]
[tex]=>SS_1=CH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle SS_1M,\triangle PP_1M[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle SS_1M=\angle PP_1M=90^\circ ; 2.SS_1=PP_1 ;3.\angle P_1MP=\angle S_1MS[/tex] (като връхни)
[tex]=>SM=PM[/tex] като СЕЕТ
[tex]=>CM[/tex] е медиана

Това е класическа задача за 7-ми клас с допълнително построение.Ще помоля само ако може някой да направи чертеж че аз така и не се научих да правя чертежи във форума.Предварително благодаря

Здрасти, само едно не разбирам как от това че ъгъл CBH= б следва че ъгъл СAH = 90-б нали триългълникът е произволен?

[Xixibg]

Съжалявам ,
Грешката е моя.Решението което съм написал е за правоъгълен триъгълник, защото просто така си го бях начертал.За произволен триъгълник решението е същото като :[tex]\angle CAH=\alpha ; =>\angle ACH=90-\alpha ; =>\angle SCS_1=180^\circ -90^\circ -90^\circ +\alpha=\alpha ;\angle CSS_1=90^\circ -\alpha[/tex]