Хубава състезателна геометрия за 10 клас

[gredon]

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex] . На страните му [tex]AC, BC[/tex] са построени външно правоъгълници [tex]ACPQ[/tex] и [tex]BKLC[/tex], като [tex]S_{ACPQ}= S_{BKLC}[/tex] . Да се докаже, че средата на [tex]PL, C, O[/tex] лежат на една права, където О е центърът на описаната окръжност за [tex]ABC[/tex]
Задачата е доста усложнен вариант на предната, която пуснах с външнопостроените квадрати

[Xixibg]

Това сигурен ли си че е вярно?

[gredon]

Кое по-точно?

[Xixibg]

Че [tex]M[/tex]- средата на [tex]PL[/tex] , [tex]C,O[/tex] лежат на една права.Сигурен ли си че е вярно?

[gredon]

Да.

[gredon]

Мисля, че задачата ще е предизвикателство за повечето хора, поне мен ме затруднява много.

[gredon]

Май трябваше да я пусна в Олимпиади 9-12 клас.. Иначе някакви идеи?

[ganka simeonova]

Поизчакай малко:)

[ganka simeonova]

Почти я направих, но излизам, така че, ако утре я довърша, ще я пусна:) Получават се много красиви отношения

[gredon]

Поизчакай малко:)

Ок, няма проблем . Аз мисля че я изкарах, но чрез много тежко и тромаво решение, а един мой съученик ми каза много кратко и ефектно решение, което за съжаление забравих . Не знам дали е вярно, но ми е интересно дали някой ще се сети за нещо подобно

[ganka simeonova]

Ето и моето решение:)
Следете означенията на чертежа. От равнолицевостта=>[tex]xb=ay=>\frac{x}{y } =\frac{a}{ b}[/tex](1)
Построяваме права през С и О, която пресича окр. в т.F.и PL в т.S
[tex]\angle BAF=90^\circ -\alpha; \angle ABF=90^\circ -\beta =>\angle ACF=90^\circ -\beta =>PCS=\beta[/tex]
Аналогично [tex]\angle LCS=\alpha[/tex]
Това, че [tex]Q, A, F[/tex],както и [tex]K, B, F[/tex] лежат на една права оставям на вас, но мисля, че е ясно...
Въвеждаме [tex]\angle PSC=\varphi =>\angle LSC=180^\circ -\varphi[/tex]
Прилагаме синусови т-ми за
1)[tex]\Delta PSC=>PS=\frac{xsin\beta }{sin\varphi }[/tex]
2)[tex]\Delta LSC=>SL=\frac{ysin\alpha }{sin\varphi }[/tex]=>
[tex]\frac{PS}{ SL} =\frac{x}{ y} .\frac{sin\beta }{ sin\alpha } =\frac{x}{ y} .\frac{b}{ a} =\frac{a}{b } .\frac{b}{ a} =1[/tex]=>от (1).
Тогава [tex]PS=SL[/tex]

[gredon]

Както винаги ясно и просто решение, което отново не видях

[ganka simeonova]

gredon, би ли дал своето решение, независимо какво е. Ще ми е интересно.

[strangerforever]

Задачата е доста усложнен вариант на предната, която пуснах с външнопостроените квадрати

Хубаво е, че има кой да ни разсмива.

[ganka simeonova]

Задачата е доста усложнен вариант на предната, която пуснах с външнопостроените квадрати

Хубаво е, че има кой да ни разсмива.

Задачата наистина е хубава и приятна!

[strangerforever]

Хубава и приятна е, но е далеч от "доста усложнена", по-скоро за общински кръг на НОМ.

[gredon]

Затова съм написал за 10 клас, а синусова теорема се учи втори срок на 10 клас! В момента, в който тази задача ми беше дадена за подготовка за ЕМТ синусова теорема естествено, че не беше взета. Като смяташ, че е лека и едва ли не елементарна, напиши решение без тригонометрия! Аз имах такова, но е бая дългичко и се опитвам да го "дешифрирам" . Изглежда тук има бая хора, които само се обаждат и казват непрекъснато "тая задача е елемантарна", "долния форум е за домашни", вместо да предложат решение. Само чакат няколко редовно пишещи коректни форумци (хихи, ганка, инс-) до постнат решение , за да започнат философстват. Опитах да направя форума малко по-богат с не кой знае колко трудни задачи (които лично аз много търсих из интернет, когато имах нужда от подобни), но напълно подходящи за подготовка за олимпиада според мен, на което срещнах вече няколко супер хейтърски отговора, незнайно защо . Спирам да ви "забавлявам" и напускам форума.

[ganka simeonova]

Гредон, аз мисля, че задачите ти са доста хубави и няма смисъл да обръщаш внимание на такива коментари:) Забавлявай се, приятелю

[strangerforever]

Гредон, аз мисля, че задачите ти са доста хубави и няма смисъл да обръщаш внимание на такива коментари:) Забавлявай се, приятелю

Така е, защото аз в никакъв случай не казах, че задачата е хубава...

[inveidar]

Хубава и приятна е, но е далеч от "доста усложнена", по-скоро за общински кръг на НОМ.

Ма немам думи просто!!!

[gredon]

Няма ли да напишеш решение без синусова теорема, strangerforever?

[strangerforever]

Няма ли да напишеш решение без синусова теорема, strangerforever?

Не, естествено, не е нужно.

[gredon]

Няма ли да напишеш решение без синусова теорема, strangerforever?

Не, естествено, не е нужно.

??? Нали каза, че е за общински кръг! Тогава синусова не би трябвало да е взета

[strangerforever]

Зависи кога се провежда общинският кръг. Не прави предположения.

[gredon]

Изобщо не правя предположения. Общинския ми кръг беше на 7 януари, а синусова теорема взехме миналата седмица т.е края на март началото на април.. Колкото и разминаване да има в общините, едва ли е близо 2 месеца, нали ?
П.С. В някои общини общинския кръг е бил през декември , а задачата ми беше дадена за подготовка за ЕМТ - 4-6 ноември ....