Задачи от олимпиада за 7 клас

[vadina]

ЗАД. 1 Даден е изразът А=( -х- 1/2)на 2-ра степен -(1/2х-1)на втора степен -3(1+1/2х)(1/2х-1)
а) Намерете стойността на променливата х, за която А=1/4
б) Намерете решенията на уравнението IА- 0,25I= 2
в) Решето уравнението 4а.А=1, където а е периметър
ЗАД.2 Даден е триъгълник АВС (АС е по- голямо от ВС). Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат страната АВ и нийното продължение съотвено в точките D и E
а) Да се докаже, че ъгъл АDС е по- голям от ъгъл ВЕС и да си определи видът на триъгълника АDС според ъгълите му.
б) Ако P и Q са пресечнит точки на ъглополовящата на ъгъл ВЕС съответно с ъглополовящите на ъгъл EDC и ъгъл ADC, то намерете ъглите на триъгълника PQD.

[martin123456]

[tex]A=(-x-\frac{1}{2})^2-(\frac{x}{2}-1)^2-3(1+\frac{x}{2})(\frac{x}{2}-1)=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{x^2}{4}+x-1-3(\frac{x}{2}+1)(\frac{x}{2}-1)=[/tex][tex]x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{x^2}{4}+x-1-3(\frac{x^2}{4}-1)=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{x^2}{4}+x-1-\frac{3x^2}{4}+3[/tex][tex]=2x+\frac{9}{4}[/tex]
a) [tex]2x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow x=-1[/tex]
b) [tex]|2x+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}|=2 \Leftrightarrow |2x+2|=2[/tex]
b)1)[tex]2x+2 \ge 0 \Leftrightarrow x\ge -1[/tex]: [tex]2x+2=2 \Leftrightarrow x=0 \ge -1 \Rightarrow[/tex] решение
b)2) [tex]x < -1[/tex]: [tex]-2x-2=2 \Leftrightarrow x=-2 <- 1\Rightarrow[/tex] решение
в) [tex]4a(2x+\frac{9}{4})=1 \Leftrightarrow a(8x+9)=1 \Leftrightarrow 8ax=1-9a[/tex]
в)1) [tex]a=0[/tex]: [tex]0x=1 \Rightarrow \empty[/tex]
в)2) [tex]a \ne 0[/tex]: [tex]x=\frac{1-9a}{8a}[/tex]