втора теорема на Птолемей

[мария : )]

Да се докаже, че диагоналите във всеки вписан четириъгълник се отнасят помежду си както сборовете от произведенията на страните, пресичащи се в края на съответния диагонал.

[Xixibg]

Нека [tex]S[/tex] е лицето на [tex]ABCD, R[/tex] е радиуса на описаната окръжност. Тогава [tex]S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{AC(AB.BC + AD.DC)}{4R}[/tex]. Аналогично [tex]S =S_{ABD} + S_{ADC}= \frac{BD(AB.AD + BC.CD)}{{4R}[/tex]
[tex]=>\frac{AC(AB.BC + AD.DC)}{4R}=\frac{BD(AB.AD + BC.CD)}{{4R} }; =>\frac{AC}{BD}=\frac{(AB.AD + BC.CD)}{(AB.BC + AD.DC)}[/tex]