Курсова работа - помощ !

[silverbear]

Моля, помогнете (спешно е )

Скрит текст: покажи

Скрит текст: покажи

[Knowledge Greedy]

Задача 1 курсова работа

[tex]x^3=-2-2i[/tex]
В тригонометричен вид [tex]x^3=2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{ 2} -\frac{\sqrt{2}}{ 2}i)[/tex]=[tex]\sqrt{8}(cos{\frac{5\pi}{{4}} }+isin\frac{5\pi }{4 })[/tex] Повдигаме на степен една трета , респективно - коренуваме с корен трети и използваме формулата на Абр. Де Моавр:
Оттук [tex]x_1=\sqrt[6]{8}(cos{\frac{5\pi }{12 } }+ isin\frac{5\pi }{12 }),[/tex]
[tex]x_2=\sqrt[6]{8}(cos{\frac{13\pi }{12 } }+ isin\frac{13\pi }{12 }),[/tex]
[tex]x_3=\sqrt[6]{8}(cos{\frac{21\pi }{12 } }+ isin\frac{21\pi }{12 }).[/tex]Едва сега се усетих, че [tex]\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}[/tex]
Ако се налага преминаване отново към радикали (алгебричен вид), използваме формулите [tex]cos^2{\alpha}=\frac{1+cos2\alpha }{ 2}[/tex] и [tex]sin^2{\alpha}=\frac{1-cos2\alpha }{ 2}[/tex] за [tex]\alpha =\frac{\pi }{ 6}[/tex].
[tex]x_1=-\sqrt[]{2}(sin{\frac{\pi }{12 } }+ icos{\frac{\pi }{12 } } )=-\sqrt[]{2}(\frac{1}{2 }\sqrt{2-\sqrt{3} } -\frac{1}{2 }\sqrt{2+\sqrt{3})}=-\frac{\sqrt[]{2}}{2 }(\sqrt{2-\sqrt{3} } +i\sqrt{2+\sqrt{3} }) ,[/tex]
[tex]x_2=\sqrt[]{2}(-cos{\frac{\pi }{12 } }+ i(-1)sin\frac{\pi }{12 } )=-\frac{\sqrt[]{2}}{2 }(\sqrt{2+\sqrt{3} } +i\sqrt{2-\sqrt{3} } ) ,[/tex]
а [tex]x_3=\sqrt[]{2}(cos{\frac{3\pi }{12 } }- isin\frac{3\pi }{12 })=\sqrt[]{2}(\frac{\sqrt{2} }{ 2} -i\frac{\sqrt{2} }{ 2} )=1-i.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Задача 3. Провери, че [tex]detA=\left| \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\\end{array} \right|=8,[/tex] следователно рангът на матрицата [tex]A[/tex] е 3.
(Ако [tex]detA=0[/tex], рангът е по-малък от 3 и трябваше да търсим поддетерминанта (от 2-ри ред), която е ненулева ...)

[Knowledge Greedy]

По задача 2.
Намираме обратната матрица [tex]A^{-1}.[/tex]
[tex]A^{-1}=\begin{Vmatrix}
-\frac{9}{7 } & -\frac{3}{ 7} &\frac{1}{7 } \\
-\frac{8}{7 }& \frac{5}{7 }& -\frac{3}{7 } \\ -\frac{5}{7 }
& -\frac{4}{7 }& -\frac{1}{7 }
\end{Vmatrix}[/tex]
Умножаваме я отляво по матрицата [tex]B=\begin{Vmatrix}
1& -1\\
-1& 1 \\
1 & 2

\end{Vmatrix}[/tex] и получаваме неизвестната матрица [tex]X[/tex]
[tex]X=\begin{Vmatrix}
-\frac{11}{7 }& 2\\
-\frac{16}{7 } & 1 \\
-\frac{10}{7 } & 1
\end{Vmatrix}[/tex]

(Ако намеря време, ще обясня как се получава обратна матрица.)

[Knowledge Greedy]

Задача 4. Записваме системата
[tex]\left |\begin{matrix}
x_{1}+ &2x_{2}+& +3x_{3} - &3 x_{4} & =10 \\
x_{1}-&2x_{2}+& x_{3}+ & x_{4} & =10\\
&x_{2}+&x_{3}+&x_{4}& =9\\
x_{1}+& & x_{3}- &x_{4} &=0 \\
\end{matrix}\right.[/tex]
в матричен вид [tex]AX=B[/tex], където
[tex]A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -1\\
1 & - 1& 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}[/tex], [tex]B=\begin{pmatrix}
10 \\
10 \\
9\\
0
\end{pmatrix}[/tex] и неизвестният вектор [tex]X=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}
\end{pmatrix}[/tex]
Нататък процедираме както в задача 2: намираме обратната матрица [tex]A^{-1}[/tex] на матрицата [tex]A[/tex], умножаваме я отляво на матрицата [tex]B[/tex] и получаваме [tex]X=A^{-1}B[/tex] - което тълкуваме като решение на системата.
[tex]A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{5}{2 } & -1 & 4 &\frac{9}{2 } \\
-\frac{3}{2 } & -1 & 3 &\frac{5}{2 } \\
2 & 1 &-3 &-3 \\
-\frac{1}{ 2} & 0 & 1 & \frac{1}{2 }
\end{pmatrix}[/tex] Отговорът е [tex]X=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3\\
14
\end{pmatrix}[/tex], което означава [tex]x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=14.[/tex]

[math10.com]

За 4-та бих работил с метода на Гаус-Жордан.

[tex]\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & -1 & 10\\ 1 & -1 & 1 & 2 & 10\\0 & 1 & 1 & 1 & 9\\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\end{array}\right) \to[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & -1 & 10\\ 0 & 3 & 2 & -3 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 9\\ 0 & 2 & 2 & 0 & 10 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & -1 & 10\\ 0 & 3 & 2 & -3 & 0\\0 & 3 & 3 & 3 & 27\\ 0 & 3 & 3 & 0 & 15 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & -1 & 10\\ 0 & 3 & 2 & -3 & 0\\0 & 0 & 1 & 6 & 27\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 15 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & -1 & 10\\ 0 & 3 & 2 & -3 & 0\\0 & 0 & 1 & 6 & 27\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 12 \\\end{array}\right){ \to}[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{cccc|c}6 & 12 & 18 & -6 & 60\\ 0 & 6 & 4 & -6 & 0\\0 & 0 & 1 & 6 & 27\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 24 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}6 & 12 & 18 & 0 & 84\\ 0 & 6 & 4 & 0 & 24\\0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 24 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}2 & 4 & 6 & 0 & 28\\ 0 & 9 & 6 & 0 & 36\\0 & 0 & 6 & 0 & 18\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}2 & 4 & 0 & 0 & 10\\ 0 & 9 & 0 & 0 & 18\\0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\end{array}\right){ \to}\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\end{array}\right){ \to}[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\end{array}\right) \Rightarrow x_1=1;x_2=2;x_3=3;x_4=4[/tex]