Граница на функция и неперово число

[Гост]

Искам да попитам как се решават тези граници ? И ако някой знае да ми каже нещо повече за неперовото число.

[Knowledge Greedy]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{1}{x} - \frac{1}{ e^{x}-1}\right )[/tex]
Границата е неопределеност е от вида [tex]\left [ \infty -\infty \right ][/tex] и я свеждаме към неопределеност от вида [tex]\left [ \frac{0}{0 } \right ][/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{1}{x} - \frac{1}{ e^{x}-1}\right )=[/tex][tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{ x(e^{x}-1)}[/tex]
Прилагаме теоремата на Лопитал:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1}{ x(e^{x}-1)}=[/tex][tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{ e^{x}-1+xe^{x}}[/tex]
Границата отново е неопределеност от вида [tex]\left [ \frac{0}{0 } \right ][/tex].
Прилагаме отново теоремата на Лопитал:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{ e^{x}-1+xe^{x}}=[/tex][tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}}{ e^{x}+e^{x}+xe^{x}}=\frac{1}{1+1+0 }=\frac{1}{2}.[/tex]
================================================
В случая единствената роля на неперовото число е , е че [tex](e^x)^{'}=e^x[/tex] . Иначе всяка показателна функция е непрекъсната във всяка точка , т.е. [tex]\lim_{x \to 0}a^{x}=1[/tex].
-------------------------------------------------------------------
Информация за неперовото число има много и навсякъде. Може да се започне от всеки справочник, учебник, интернет.
На малкото място тук и с малкото време на разположение, едва ли ще сме достатъчно изчерпателни. Все пак - самото [tex]e[/tex] се дефинира така - също с помощта на граници: [tex]e =\lim_{n \to \infty }\left (1+\frac{1}{n}\right )^{n}[/tex].
Да обърнем внимание и на факта, че тази граница е неопределеност от друг вид [tex]\left [ 1^{\infty } \right ][/tex] и за разкриването на някои неопределености от този вид може да се използва самата дефиниция на [tex]e[/tex] .
Една приближена стойност на [tex]e[/tex] е [tex]e\approx2.71828182846[/tex]

[Гост]

По-разумна дефиниция на неперовото число е то да се зададе като граница на редицата 1+1/1!+1/2!+...+1/n! защото после всички свойства на експонентата се установяват лесно като се използват теореми от числови редове.

[Knowledge Greedy]

Гледна точка.

По-разумна дефиниция на ...

Критерий за разумност?-М.б. мнението на университетски преподавател.