Производните df/dx, df/dy,d^2f,dxdy в точката (x=0, y=0)

[creeds]

моля някой да помогне

1.да се намери дефиниционната област, производните df/dx, df/dy,d^2f,dxdy в точката (x=0, y=0) и първият диференциал в точката (x=0, y=0) на функцията:
f(x,y)=x^2/y-2+6/1+xy+cosy

[Knowledge Greedy]

За дефиниционна област [tex]D[/tex] на функцията без други условия подразбираме възможно най-разширената такава.
Единственото ограничение в случая е забраната за деление на нула.
Следователно
[tex]D:\left |\begin{matrix}
y-2 \ne 0\\
1+xy+cosy\ne 0 &
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left |\begin{matrix}
y \ne 2\\
xy+2cos^{2}\frac{y}{2} \ne 0 &
\end{matrix}\right.[/tex]
Производните на [tex]f(x,y)=\frac{x^{2}}{y-2}+\frac{6}{1+xy+cosy}[/tex].
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{y-2}-\frac{6y}{(1+xy+cosy)^{2}}[/tex] , следователно [tex]\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{(y-2)^{2}}-\frac{6(x-siny)}{(1+xy+cosy)^{2}}[/tex] , следователно [tex]\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-\frac{2x}{(y-2)^{2} }+\frac{6(1-xy+cosy-2ysiny)}{(1+xy+cosy)^{3} }[/tex] , следователно [tex]\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)= \frac{3}{2}[/tex].
[tex]df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy[/tex],
следователно пълният диференциал в точката [tex](x=0,y=0)[/tex] е също нула.